Як отримати червону формулу для оцінки варіанта на майбутнє?

У мене є питання про 1976 моделі Black Model і Bachelier моделі.

Я знаю, що геометричне бруанське рух у мірці P $ dS_ (t) = \ mu S_ (t) dt + \ sigma S_ (t) dW_ (t) ^ (P) $ для цінових акцій $ S_ (t) $ призводить (після зміни міри) до формули Black-Scholes для дзвінка:

$$ C = S_ {0} N (d_ {1}) - Ke ^ {- rT} N (d_ (2)) $ $.

Де $ d_ {1} = \ frac (ln (\ frac (S_ {0}} (K)) + (r + \ frac (1) (2) \ sigma ^ (2)) T) (\ sigma \ sqrt T}} $ і $ d_ (2) = d_ (1) - \ sigma \ sqrt (T) $

Я насправді не знаю, як можна отримати знамениту чорну формулу на форвардному контракті:

$$ C = e ^ {- rT} (F N (d_ {1}) - KN (d_ (2))) $ $.

де зараз $ d_ (1) = \ frac (ln (\ frac (F) (K)) + \ frac (1) (2) \ sigma ^ {2} T} (\ sigma \ sqrt (T)} $ і $ d_ (2) = d_ (1) - \ sigma \ sqrt (T) $

Чи повинен я просто вставити $ F (0, T) = S_ (0) e ^ (rT) $ в першу формулу БС, щоб отримати другий?

Я прошу це, тому що я спробував вивести формулу БС за допомогою арифметичного коричневого руху, як $ dS_ (t) = \ mu dt + \ sigma dW_ (t) ^ (P) $, і я отримую:

$$ C = S_ {0} N (d) + e ^ {- rT} [v n (d) -K N (d)] $ $.

де $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $ і $ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac (1-e ^ (- 2rT)} {2r }} $ і пам'ятаю, що $ N (d) $ і $ n (d) $ - CDF і PDF.

але попередня заміна $ F (0, T) = S_ {0} e ^ (rT) $, здається, не веде до відомих результатів $ C = e ^ {- rT} [(FK) N (d) - \ sigma \ sqrt (T) n (d)] $

де тепер $ d = \ frac (F-K) (\ sigma \ sqrt (T)) $

Я думаю, що я зможу досягти рівнянь на прямій як в геометричному бруанському русі, так і в арифметичному бруанському русі, використовуючи рівняння

$ dF = F \ sigma dW_ (t) ^ (Q) $ і $ dF = \ sigma dW_ (t) ^ (Q) $, але я не знаю як виправдовувати їх використання.

4
@ Макро Ласкаво просимо в квант. С. Е.! Ви хочете, щоб ціна просто перемогти контракт або опціон на форвардний контракт?
додано Автор user16991, джерело
Просто замініть $ S_0 $ на $ F e ^ (- rT) $ у вихідній формулі БС або ви можете використовувати нейтральний підхід до ризику. Обидва призведуть до тієї ж формули оцінки.
додано Автор user16991, джерело
Привіт Neeraj, спасибі за вашу відповідь. Я хотів би оплатити опціон на прямий контракт!
додано Автор Peter Taylor, джерело
Добре, дякую. Але чи можна зробити те ж саме для ПРО? Тому що я не можу отримати результат, коли я роблю цю заміну.
додано Автор Peter Taylor, джерело

2 Відповіді

Європейський варіант на майбутнє

To price Європейський варіант на майбутнє, you just need to replace $S_0$ with $Fe^{-rT}$ in your original BS formula or you can use risk neutral approach. Both will lead to same Valuation formula.

Американський варіант на майбутнє

Above procedure can not be used to price Американський варіант на майбутнє. In a paper, The valuation of options on future contracts by Ramaswamy, stated that

There are no known analytical solution to the valuation of Американський варіант на майбутнє contract.

Authors used implicit finite difference method to price Американський варіант на майбутнє contract.


Edit: Derivation of price of Європейський варіант на майбутнє contract

В умовах нейтральної міри ризику майбутня ціна, $ F_t $, задовольняє наступним SDE: $ $ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ де $ W_t $ - це процес Вінера. Можна легко показати, що: $$ F_T | F_t = F_t e ^ (- \ frac (1) (2) \ sigma ^ 2 (T-t) + \ sigma (W_T- W_t)) $ $ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left (ln (F_t) - \ frac (1) (2) \ sigma ^ 2 (T-t), \ sigma ^ 2 (T-t) \ right) $$

Ціна опціону на майбутній договір $ (C_t) $ в рамках нейтральної межі ризику: $$ C_t = e ^ {- r (T-t)} E_ \ mathbb (Q) [(F_T - K) ^ +] $$

Ви можете легко вирішити вищенаведене вираз, щоб отримати ціну опціону, написаного на майбутнє. Розподіл $ F_T $ дуже схожий на $ S_T $ (див. Цю відповідь) . Якщо ви заміните $$ ln (F_t) = ln (S_t) + r (T-t) $$, то ви отримаєте таке саме розподіл $ S_T $, як за нейтральною мірою ризику. Ось чому, щоб отримати ціну опціону на майбутнє, ми замінимо $ S_t $ на $ F_t e ^ (- r (T-t)) $ у моделі БС європейської ціни опціону.

1
додано
@ Марко, будь-ласка, перевірте відповідь на зміну.
додано Автор user16991, джерело
Привіт Neeraj, я дійсно хотів би оцінити європейський варіант, починаючи з ABM.
додано Автор Peter Taylor, джерело

Я отримую рівняння $ e ^ {- rt} [(S_ {0} e ^ {rt} -K) N (d) + vn (d)] $

де $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rt} -K} (v) $ і $ v = \ sigma \ sqrt t $, а потім використовуючи $ F (0, t) = S_ {0} e ^ {rt} $ отримую остаточне рівняння для ціни дзвінка:

$ C_ {t} = e ^ {- rt} [(F-K) N (d) + \ sigma \ sqrt t n (d)] $ де $ d = \ frac (F-K) (\ sigma \ sqrt t) $

У всякому разі, щоб отримати результат, я повинен розглянути межу для малих r в $ v $: $ \ lim_ (r \ to 0) \ sqrt (\ frac (e ^ (2rt) -1} (2r)) $

Як я можу виправдати цю здогадку?

0
додано