Чому $ N (d_2) $ не потрібні для хеджування?

Я намагаюся зрозуміти дельта-хеджування. Якщо я продаю простий варіант дзвінка з ванілі, щоб дельта-хеджувати його, я повинен купити дельта-кількість акцій.

Що я не розумію, це те, що вартість дзвінка BS становить:

$$ C = SN (d_1) - e ^ {- rT} XN (d_2) $ $

Я хочу побудувати портфель хеджування, який має таку ж цінність, як ціна опціону в будь-який час. Але вартість опціону складається з двох термінів, а не тільки дельта-терміну.

А як щодо другого терміну? Чому мені це не потрібно для хеджування?

3
Питання полягає в тому, чому це тільки $ N (d_1)? Я хочу, щоб портфель хеджування в будь-який час мав таку ж цінність, як ціна опціону. Але вартість опціону складається з двох термінів, а не лише дельта-термінів.
додано Автор namenlos, джерело
@AlexC це відповідь, чому ви додаєте його в коментар?
додано Автор kenorb, джерело
Отже, я бачив розрахунок, пояснюючи, чому $ \ Delta = N (d_1) $, і я знаю розрахунок, який показує, що нам потрібно використовувати $ \ Delta $ для хеджування, але я не можу задуматися навколо того факту, що ми не маємо використовуйте ймовірність навчання (тобто $ N (d_2) $), це буде сенс для мене. У вас є легкий аргумент, який показує, що ймовірність здійснення не є релевантною? Це питання про реальний світ проти RISC безкоштовно?
додано Автор Were_cat, джерело
Оскільки формула для дельти - $ N (d_1) $. Ось чому нам не потрібен другий термін для хеджування. Будь-ласка, детально ознайомтеся з конкретними, які ви хочете знати, інакше я голосую за закриття цього питання.
додано Автор user16991, джерело
Ви намагаєтесь заощадити зміни в ціні опції, коли змінюється вартість акцій, не збігається з вартістю варіанта (що ми могли легко зробити з кошика готівки, що дорівнює вартості опції, але це марно) Тому ви повинні подивитися на $ \ frac (\ partial C) (\ partial S) $ не C. І N (d2) НЕ з'являється в $ \ frac (\ partial C) (\ partial S) $.
додано Автор frerechanel, джерело

1 Відповіді

Справа в тому, що:

Delta, $ \ Delta $, визначається як $ \ frac (\ partial C) (\ partial S) $, де $ C $ - це вартість варіанту дзвінка, а $ S $ - це ціна базового активу.

Отже, враховуючи, що вартість варіанту дзвінка для недивіденційного основного акцій за параметрами Блек-Шоулза є

$$ C = N (d_ {1}) S - N (d_ (2)) Ke ^ {- rT}, $$

$ $ \ Delta = \ frac (\ partial C) (\ partial S) = N (d_ (1)). $ $

В основному, Delta - це лише перша часткова похідна від $ C $ стосовно $ S $.


Як отримати $ \ Delta $

  • $ N (x) $ - сукупна ймовірність того, що змінна зі стандартизованим нормальним розподілом буде менша за х;
  • $ N '(x) $ - це функція щільності ймовірності для стандартизованого нормального розподілу:

$$ N '(X) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)} e ^ (\ frac (x ^ 2) {2}}. $ $

Тоді, визначивши $ \ tau = T - t $, у нас є $$ d_ {1} = \ frac {\ ln (\ frac (S) (K)) + (r + \ frac (\ sigma ^ 2) {2}) \ tau} (\ sigma \ sqrt (\ tau) } $ $

і

$$ d_ {2} = \ frac {\ ln (\ frac {S} {K}) + (r - \ frac (\ sigma ^ 2) {2}) \ tau} (\ sigma \ sqrt (\ tau) } $ $

Це випливає з цього

$$ N '(d_ {1}) = N' (d_ {2} + \ sigma \ sqrt (\ tau)) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)} e ^ {- \ frac { (d_ {2} + \ sigma \ sqrt (\ tau)) ^ 2} {2}} = N '(d_ {2}) e ​​^ {- d_ {2} \ sigma \ sqrt (\ tau) - \ frac {\ sigma ^ 2 \ tau} {2}} = N '(d_ {2}) \ frac {Ke ^ (- r \ tau)} {S} $$

Таким чином,

$$ N '(d_ (1)) S = N' (d_ (2)) Ke ^ {- r \ tau}. $$

Потім

$$ \ frac {\ partial d_ {1}} (\ partial S) = \ frac (\ partial d_ {2}} (\ partial S) = \ frac (1) (S \ sigma \ sqrt (\ tau}} $ $

Since there is an $S$ in $N(d_{1})$ і$N(d_{2})$, we use the chain-rule:

$ \ frac {\ partial C} {\ partial S} = N (d_ {1}) + \ frac {\ partial d_ {1}} (\ partial S) N '(d_ {1}) S - \ frac {\ partial d_ {2}} (\ partial S) N '(d_ {2}) Ke ^ {- r \ tau} = N (d_ {1}) + \ frac {\ partial d_ {1}} (\ частина S} N '(d_ (1)) S = N (d_ (1)) + \ frac (1)) S - \ frac (\ partial d_ {2} } {S \ sigma \ sqrt (\ tau)} N '(d_ {1}) S - \ frac {1} {S \ sigma \ sqrt (\ tau)} N' (d_ {1}) S = N d_ (1)). $$

7
додано
Я вважаю, що це може викликати плутанину, оскільки $ S $ з'являється також у $ d_ {1,2} $. Можна подумати, що часткова похідна проста, але це не так. ОП, можливо, запитають саме це.
додано Автор discotech, джерело
Ти правий. Я додав кілька етапів виведення.
додано Автор stochazesthai, джерело