Чи повинні математичні визначення бути формальними? Якщо так, то чому?

Нещодавно на Math SE я запропонував наступне визначення "перед функцією":

Попередня функція f з X до Y буде визначена як "функція", яка в Загальне не є чітко визначеним.

Це було відхилено іншими користувачами, мабуть, тому що це не було "формальним" визначенням.

Моє питання так: чи повинні математичні визначення бути формальними? Якщо так, то чому?

4
@ user4894 - Якщо ви цитували відповідні частини цього посилання і трохи розгорнули його, це зробить чудову відповідь на це питання.
додано Автор Tai Squared, джерело
додано Автор driis, джерело
@virmaior: Або, іншими словами, "чи повинні визначення математичних об'єктів бути" формальними "?
додано Автор driis, джерело
@virmaior: Я вже казав, що в моєму попередньому коментарі "є" неформальні "визначення, а не визначення взагалі?".
додано Автор driis, джерело
@virmaior: Я не думаю, що це питання залежить від "повністю від використання термінів, як це визначено з конкретної дисципліни математики". Швидше за все, що він зачіпає, це "нефінарні визначення", а не визначення взагалі? Я не знаю, чи він "глибокий" у тому сенсі, що ви використовували цей термін, але для мене це виглядає як підходить для філософії.
додано Автор driis, джерело
@MauroALLEGRANZA: Я згоден з тим, що змінити назву немає сенсу, але я навмисно наголошував на тому, що попередньо функціонуючи "попередні" карти кожної точки домену до свого спільного домену. Але це не можна зробити. Крім того, може бути узгоджено, що визначення попередньої функції, як це передбачено в поточній версії повідомлення, є "більш формальним" (що б це не означало), що вказане тут. Але це не обов'язково означає, що це визначення є дурнем.
додано Автор driis, джерело
@ ChrisSunami дякую, що зробили цю роботу, щоб зробити це кращим питанням. Я зняв моє закриття.
додано Автор virmaior, джерело
Я не знаю, на основі специфіки, здається, що користувач у math.SE намагається допомогти вам використовувати терміни, звичайно в рамках математики, і що Мауро робить те ж саме тут. Якщо це означає бути питанням про філософію, чи можете ви чіткіше пояснити, що таке філософське питання - а не вимагати від нас сказати, що означає якийсь математик?
додано Автор virmaior, джерело
Я голосую за те, щоб закрити це питання поза темою, тому що це, здається, повністю залежить від використання термінів, як це визначено з конкретною математикою дисципліни. (тобто, він не задає нічого глибокого про природу визначення, і тому така дійсно не є підходящою філософією.SE - замість цього вона повинна бути кращою з математикою.SE (але я не можу відповісти, чому, якщо вони думають це не підходить))
додано Автор virmaior, джерело
Ось визначення визначення математичного визначення. Це інформація, яку ви не маєте. Математичне визначення має мати певні властивості; і якщо він не має цих властивостей, це не визначення. abstractmath.org/MM/MMDefs.htm
додано Автор Thomas W., джерело
Ви правильно кажете, що " xfy iff (x, y) ∈f ". Але " xfy = ufv " немає, тому що xfy , тобто (x, y) ∈f є формулою , тобто заява, а не термін (тобто ім'я), а на мові теорії множин рівність (=) визначається між об'єктами (тобто наборами), а не між формули. У нас є те, що (x, y) = (u, v) iff x = u і y = v , оскільки рівність між множинами виконується, коли набори мають однакові елементи, а заперечення від замовленої пари гарантує точне рівність двох пар коли ...
додано Автор Mauro ALLEGRANZA, джерело
Коли ви кажете, що для кожного x∈X існує y∈Y таке, що (x, y) ∈f ви додали умову "скрізь визначено на X"; це не потрібно для "звичайних" відносин. Розглянемо "батька": не всі чоловіки - батьки когось.
додано Автор Mauro ALLEGRANZA, джерело
Ваша попередня функція є відношенням і - крім того, що мало сенсу "змінити назву" на те, що вже широко використовувалося - мені здається "формально" правильним.
додано Автор Mauro ALLEGRANZA, джерело

3 Відповіді

Можливо, формальні визначення - точні, суворі та однозначні - є основою для математики. Щоб висловити це, що по-іншому, математика - це формальні визначення, а також взаємозв'язок між ними.

Ми можемо зрозуміти, чому, якщо ми розглянемо ваше запропоноване визначення:

Попередня функція f від X до Y буде визначена як "функція", яка в цілому не є чітко визначеною.

На обличчі це виглядає правдоподібно. Ми показуємо набір усіх функцій і поділяємо їх на дві ексклюзивні підмножини. Одне підмножина має чітко визначені функції, інший набір потім стає "попередньою функцією". Але для того, щоб щось вважалося математичною функцією, вона повинна бути чітко визначеною, тому інше підмножина порожнє.

Отже, тепер ми створюємо нову категорію "функції" (з цитатами лякання), яка включає в себе фактичні функції, а також "попередні функції". Але яка функція, якщо не те, що математика визначає як? Схоже, ви дивитесь на відображення від X до Y. Ви маєте на увазі всі невизначені відображення від X до Y. Але що саме це означає?

Питання продовжуються і продовжуються. Врешті-решт, ви в офіційному порядку визначите свою концепцію або закінчите чимось, що не підходить для математичного використання, оскільки воно неоднозначне і підлягає тлумаченню.

3
додано
@ user170039 Ідея полягає в тому, що ВСІ математичні функції "добре визначені". Недостатньо визначена функція нагадує одружений бакалавра. Причина офіційних визначень (в основному) однозначна, тому що вони поступово побудовані крок за кроком з дуже простих основ. Цілком можливо, що прості фундаменти можуть змінюватися (наприклад, аксіоми Евкліда), але, принаймні, додаткової двозначності не додано. Порівняйте ваше визначення, що додає значну частину нової неоднозначності ідеї "функції".
додано Автор Tai Squared, джерело
@ user170039 Онтологічний статус математичних об'єктів цілком є ​​власне новим питанням. Розширене обговорення в коментарях не рекомендується тут.
додано Автор Tai Squared, джерело
@ ChrisSunami: Я не хочу продовжувати обговорення в коментарі щодо цієї проблеми. Я написав два останні коментарі, тому що я думав, що вони зможуть уточнити більше проблем, що приховані в публікації.
додано Автор driis, джерело
@ Ера: Я не розумію вашого прикладу. Чи можете ви прояснити трохи?
додано Автор driis, джерело
(2) Припустимо, що ми намагаємось "побудувати" математичний об'єкт, званий "попередньою функцією". Ми знаємо, що таке функція. Скажімо, що він задовольняє властивостям a , b і c , де властивість c має значення "well-definedness". Тепер не можна сказати, що якщо математичний об'єкт задовольняє a і b , ми називатимемо його попередньою функцією? Якщо ні, то чому б і ні?
додано Автор driis, джерело
У мене є два питання: (1) Чому офіційні визначення однозначні? Тому що я знаю, що визначення - це лише рядки деяких символів, які в основному "безглузді". Їх значення залежить від нашої інтерпретації їх у моделі. Як тоді можна задовільно відповісти на питання однозначності цих визначень?
додано Автор driis, джерело
@ Адам Рубіньсон: Насправді я задавав це питання, оскільки я думав, що нам треба робити математику «природно». У реальному світі ми, як правило, прагнемо побудувати нові об'єкти, що базуються на об'єктах, які ми зараз маємо в нашій руці. Припустимо, що ми намагаємося побудувати машину, яка використовує, скажімо, негативну енергію. Тепер, якщо я кажу, що негативний автомобіль - це фізичний об'єкт (що б це не означало), який використовує негативну енергію, я думаю, ми можемо однозначно уявити, що це таке, якщо ми припускаємо, що ми можемо однозначно концептуалізувати те, що "автомобіль" і що таке "негативна енергія".
додано Автор driis, джерело
Це змусило мене поставити одне і те ж питання на "математичні об'єкти", тобто (1) Чи можна однозначно концептуальувати математичним об'єктом з його визначення, якщо ми зможемо однозначно зрозуміти математичні об'єкти, які "складають" його, (2) якщо заява задовольняє (1), то чи можемо ми називати це визначення взагалі (можливо, не можемо бути в "формальному" сенсі)? (3) Чи точка визначення лише забезпечує однозначність , чи це, зокрема, онтологічна неоднозначність ?
додано Автор driis, джерело
що математичні докази зазвичай приймаються як абсолютний факт.
додано Автор hobb0001, джерело
... оскільки "сенс" в основному полягає в тому, де 2 або більше людей знаходять одне і те ж важливе значення, що, очевидно, стосується математичних визначень/доказів тощо. Наскільки я можу сказати, їх значення залежить від інтерпретації визначення/доказів тощо. Це може здатися абсурдним, хоча я думаю, що це правда, так само, як я вважаю вірним, що не існує жодного відома рішення для жорсткого соліпсизму. Однак те, що можна сказати про математику, полягає в тому, що для переважної більшості людей докази є надзвичайно переконливими в порівнянні з «доказами», даними в інших предметів, так багато,
додано Автор hobb0001, джерело
"У мене є два питання: (1) Чому формальне визначення однозначні? Отже, оскільки я знаю, визначення є просто рядками деяких символів, які в основному" безглузді ", їх значення залежить від нашої інтерпретації їх у моделі. про неоднозначність цих визначень можна задовільно відповісти? " Як випускник математики, який дуже зацікавлений в філософії, я думав, що дам свої 2 центи. Наведені вище питання є дуже хорошими питаннями, імo, і я попросив себе без задовільної відповіді, хоча я не згоден з тим, що "визначення не мають сенсу" ...
додано Автор hobb0001, джерело
Я згоден з Крісом. Онтологія математики заслуговує на інше питання. Однак слід зазначити, що швидкий пошук Google дає багато відповідних статей: plato.stanford .edu/entries/platonism-mathematics columbia.edu/~hg17/ …
додано Автор hobb0001, джерело
@ user170039 чітко визначений означає, що об'єкт конкретного має всі необхідні властивості, щоб бути функцією. Добре визначеність є тривіальною, якщо врахувати весь клас функцій. Використовуючи ваш приклад, для будь-якого об'єкта неможливо задовольнити a та b , а не c , оскільки властивість c еквівалент " a і b ".
додано Автор Era, джерело
@ user170039 стосовно неоднозначності: (математична) функція - це чітке визначення між входами та виходами. це ніколи не відбувається, якщо функція не робить цього - з Вікіпедії на "Добре визначено": "якщо f (0,5) не дорівнює f (1/2), то f не є чітко визначеним (і таким чином: не функція) ". Кріс правильно каже, що погано визначена функція нагадує одружений бакалавр - це просто порушує факти, що стосується того, що таке функція чи бакалавр.
додано Автор user19003, джерело

Це залежить від рівня, на якому ви працюєте; математика має точний твір роботи: як теорія груп або векторних просторів.

Але перш ніж поняття стає формалізованим, воно неформальне, невизначене та неточне.

Наприклад, поняття простір, можна простежити до аналізу місця - у Лібніца - поняття, яке має багато різних формальних аватарів: диференціальні різноманіття, пучки, топологічні простори та об'єкти.

Іншим прикладом сучасної математики є поле одного елемента ; поле, яке є певною математичною структурою, де можна додати, розмножити або розділити без обмежень; тому цілі числа не є полем, оскільки розділений на два частка, а не ціле число; NLab продовжує говорити:

various phenomena in the context algebraic/arithmetic geometry over finite fields [with a size n] can be seen as reflecting interesting facts when one extrapolates to the case n=1, even though, of course, there is no such field; since all fields have 1 & 0 distinct [so must have at least two elements].

Фактично, є таке поле! Це всього 0; з очевидними операціями

0 + 0 = 0

     

0 x 0 = 0

     

0/0 = 0

However including such a field in the usual idea of a field spoils other properties that are important; so it's best excluded by stipulating 1 & 0 are distinct; and this is why that stipulation is there; hence this isn't the object that one looks for when is looking for this field of a single element.

Отже, у нас є об'єкт, який точно називається полем одного елемента; і теорія якої називається абсолютною геометрією; чиї можливі властивості чітко визначені, але немає об'єкта * спочатку * є ... він повинен бути знайдений, винайдений або відкритий.

2
додано

When we say formal we mean "of or relating to logical form as opposed to function or meaning" (ty Google dictionary). A formal definition is one which relates the subject matter to some statement of logic. For instance if x > 2 then y is 4 is a logical statement. If we define f(x) = 4 | x in {x > 2} then we have a formal definition of f. It's even formal to say that f(x) = {} | x in {} - this is known as the empty function. Even simple operations like addition are functions! Expressions, which utilize operators, cannot exist, except as free-floating numbers or symbols. This helps to explain why so many posters have focused on relating this back to functions: without the concept of a function (which is formal and well-defined by definition) it is impossible to do what you and I would call "math" - all that remains is free-floating numbers, whose definitions are no more "mathematical" than are the definitions of bachelors or garbage trucks.

Мені цікаво послухати приклад визначення, яке є математичним, але не формальним, але зараз я не вважаю це можливим, враховуючи те, що ми маємо на увазі за допомогою математичного і що ми маємо на увазі за допомогою < em> формальний .

1
додано