Переконайтеся, що ви зрозуміли концепцію

У мене є питання, про який я вже довго думав.

Як ви можете запевнити себе, що ви повністю зрозуміли поняття чи справжнє значення теореми в математиці?
Я маю на увазі, як ви можете зрозуміти, що ви цілком зрозуміли концепцію, і пора перейти до наступних сторінок книги, яку ви читаєте?

Заздалегідь дякую за ваші відповіді.

29
Я повністю згоден з Маріано. "Отримання" (о, це звучить настільки брудно) - це те, що дозріває через час і вплив.
додано Автор Jason Baker, джерело
... так що чекати, поки отримати , перш ніж перейти на наступні сторінки, є стратегією, яка перемагає самостійно!
додано Автор Herms, джерело
"З повагою, аж до самого вієндри" (Натисніть, і віра наздожене вас) Жан д'Аламбер dixit.
додано Автор Herms, джерело
Я б сказав, що рідко виникає поняття чи теорема перед багатьма, багатьма, багатьма іншими сторінками та книгами.
додано Автор Herms, джерело
Я читаю в Принстонському супутнику математику, що пропозиції - це результати, які слід очікувати. Я часто виявляю, що моє "розуміння" добре співпадає з "чеканням" тієї суті, яку слідує.
додано Автор Martha, джерело
На жаль, ця цитата вже дана як відповідь. Я не впевнений, що це все-таки особливо просвітлене, якщо бути чесним.
додано Автор user9909, джерело
Фон Нейман одного разу сказав: "... в математиці ви не розумієте речі. Ви з ними звикнете.
додано Автор user9909, джерело

15 Відповіді

Я вважаю, що важко бути абсолютно впевненим, і часто існує кілька рівнів "осягнення" та різного тлумачення для "справжнього значення" понять та результатів. Я можу згадати кілька хороших ознак: а) ви плаваєте, як риба в позначеннях навколо поняття/теореми; б) ви можете довести теорему самостійно, не бачачи попереднього доказу, або, принаймні, ви можете це довести, побачивши доказ . І для концепції: ви можете придумати докази основних результатів про концепцію. c) Концепція/теорема виглядає природною для вас, і ви навіть можете побачити, як це виявляється. г) ви можете запитати і правильно відповісти на запитання щодо поняття/результату.

Звичайно, ви повинні бути готовими до ситуацій, коли ви думаєте, що маєте повне розуміння, і тоді ви виявите, що у вас немає, і ви отримуєте це знову і знову програєте ... Сказавши, що є певне почуття, коли справа доходить до проблеми/теореми/поняття "я це отримав", фазовий перехід від нерозумного розуміння і повного або майже повного розуміння. Ви повинні мати можливість визначити цей перехід. (І вирішення проблем може дати вам хорошу практику.)

Одним з гарних порад про це є взаємодіяти: порівнюйте своє розуміння зі студентами/колегами, і не соромтеся задавати питання.

(Я не можу противитися згадуванню історії про професора, який поскаржився колезі: я одного разу навчав, і студент не зрозумів, я вчив це вдруге, і вони не зрозуміли, потім я вчив це втретє і < strong> Я зрозумів , але вони все одно не зрозуміли.)

36
додано
+1 Ваша професорська історія чудово.
додано Автор Keplerf1, джерело
З іншого боку, мені подобається знак b) дуже, особливо з посиленням: b ') Ви можете спростити докази, які ви знайдете в книгах.
додано Автор James Fee, джерело
г) є досить неконструктивним, оскільки судження про те, які питання "легко" вимагає більш глибокого розуміння предмета, ніж відповідь на ці прості питання ... З іншого боку, в) дуже важко отримати. Я досі не можу бачити себе відкриттям гомології, хоча я був підданий гомологічній алгебрі протягом 3-4 років ...
додано Автор James Fee, джерело
Я чув, що фон Нейман один раз прокоментував, що в математиці, який не можна зрозуміти, його також звикли. ...
додано Автор user6494, джерело
Я почув таку ж хорошу історію, в якій професор був визначений Ізраїлем Мойсейовичем Гельфандом.
додано Автор Margaret Friedland, джерело

Постарайтеся пояснити цю концепцію іншим.

Якщо вони зрозуміють це, то ви можете бути впевнені, що ви добре розумієте, що відбувається. Якщо вони задають природне питання, і ви не можете відповісти, то це може допомогти вам переосмислити концепцію з новим способом. Вони також можуть надати інший погляд на це, щоб збагатити ваше розуміння.

"Це призведе до задоволення клієнтури та молодих людей" (Boileau)

[що добре задумане, це чітко сказано ... а слова говорять про те, що він протікає з легкістю.]

22
додано
Переклад не є повністю точним. "Concevoir" в цьому налаштуванні означає "зрозуміти", але, як ви це написали, я думаю, що зрозумітиме "задумане", як це було "спроектовано, побудовано". Я б запропонував "Той, що добре зрозумів, можна чітко заявити і слова сказати, що це легко".
додано Автор Keith, джерело

Я люблю грайливо ставитися до речей. Спочатку я пробую концепцію в різних елементарних або навіть тривіальних контекстах і подивіться, що станеться. Це особливо корисно, коли результат не узгоджується з тим, що я спочатку очікував від цієї концепції, оскільки це призводить до перегляду моїх інтуїцій щодо концепції. Але коли він відповідає моїм первинним очікуванням, то він надає підтримку цим початковим інтуїціям, розбудовуючи моє розуміння. Потім я можу перейти до більш істотних прикладів. Поступово, досліджуючи концепцію в різних цих більш істотних контекстах, людина приходить до більш глибокого розуміння цієї концепції.

Тому в кінцевому підсумку це стає зрозумілим, і ви це знаєте.

Тим не менш, я також вірю в те, що в кінцевому рахунку, людина ніколи не переконується в тому, що поняття цілком зрозуміле. Звичайно, ми всі часом дізнаємося про те, що раніше ми вважали цілком зрозумілими. Можливо, ми несвідомо розглядали приклади лише певного типу, і тому не цілком оцінили можливості і, можливо, ненавмисне звели неправильні інтуїції таким чином. І хоча це іноді трапляється, на щастя, для більшості з нас це рідко.

Тому натискайте, коли ви відчуваєте, що розумієте цю концепцію та деякі основні приклади, але будьте готові переглянути речі з самого початку, коли з'являються дивні нові приклади.

21
додано

Хоча ми всі хочемо "зрозуміти поняття", я б закликав вас оцінити, наскільки добре ви вивчаєте математику не з того, чи розумієте ви "поняття" чи ні (оскільки це в кінцевому підсумку занадто туманно визначено), а чи можна використовуйте те, що ви навчилися робити щось корисне. Для студентів це, як правило, означає виконувати проблеми в кінці розділу чи розділу. Для тих, хто використовує математику як інструмент (наприклад, Стів Хантсман) це означає написання програмного забезпечення, яке використовує вивчену математику. Як для студентів, так і для професіоналів, це також часто означає розробку деталей зазвичай шляхом обчислення прикладів, які ілюструють те, що ви тільки що дізналися. І, звичайно, якщо ви або прагнете бути чистим математиком, це також може означати використання того, що ви навчилися, щоб довести інші математичні висловлювання, які ви хочете або потребуєте.

Якщо ви можете зробити що-небудь з цих речей тим, що ви тільки що дізналися, то ви повинні обов'язково йти до наступної речі. Оскільки, як інші вже порадили вас, ви, можливо, захочете рухатися далі, навіть якщо ви не можете зробити щось корисне ще. Під час вивчення математики потрібно намагатися вміти робити щось корисне (наприклад, розробляти приклади та/або вирішувати проблеми) з більшістю того, що ви вивчаєте. Проте всі впадають в речі, які просто не занурюються, незважаючи на інтенсивні зусилля. Поки ви навчитеся більшості всього іншого, часто краще рухатися вперед і повертатися пізніше після того, як ви знаєте більше і є більш досвідченими. Все стає легше, якщо не на другій спробі, як правило, до десятої.

15
додано

Я люблю спробувати спростувати результати, які я намагаюся зрозуміти.

Іноді я дам йому хороший місяць - я починаю з конструювання вигадливих послідовностей та невеликих евристичних аргументів - коли я на щось добре, я буду переслідувати це до того, як це буде суворі: частіше ніж це виявляється саме справою не допускається припущеннями теореми.

Через деякий час я починаю малювати мій контр-аргумент у загальних рисах: "A A не B, якщо A має збочення X", і я шукаю точну лінію в доказі, де "Perversity X" (можливо, неявно) розглядається і деблокується . Рано чи пізно я починаю бачити те, що для кожної лінії в доказі, і я починаю бачити, чому це має бути правдою.

Це, можливо, не найшвидший спосіб вчитися, але це, безумовно, цікаво, якщо у вас виникають проблеми зі сном!

Можна також застосувати той же трюк до визначень і конструкцій, намагаючись довести, що вони марні/вироджені.

14
додано
цікава ідея ... Я думаю, я ніколи не намагався це зробити.
додано Автор Ryan Doherty, джерело

Існує знаменита цитата Джона фон Неймана:

"У математиці ви не розумієте речі. Ви просто звикнете до них ".

Я точно не знаю, що це означає, але, мабуть, це означає, що запитання про те, чи розумієте ви щось, є питанням, яке насправді не має сенсу, адже ваше запитання дійсно запитує: яке визначення розуміння. Таке питання може бути приречено з самого початку. Навіть якщо б ми могли погодитися з деяким визначенням, і ви мали б застосувати його до певної математичної концепції, я переконаний, що в деякий час пізніше, коли ви дізнаєтеся про інші речі, ваша нова перспектива змусить вас відчувати, як ніколи ви не зрозуміли цього поняття. Тому моя порада - прийняти вашу концепцію і звикнути до неї. Ось кілька ідей про те, як це зробити.

1) Якщо це визначення, спробуйте придумати деякі приклади та не приклади. Неприклади особливо корисні, коли ваша концепція додає прикметник до того, що ви вже знаєте; як додавання "prime" до "number"

2) Я це теорема, намагаюся точно визначити, де використовуються гіпотези в доказі, і спробуйте придумати контрприклади до твердження, як ви видалите ці гіпотези.

3) Якщо є вправи, тобто якщо ви читаєте підручник, спробуйте їх. Навіть якщо ви не отримаєте до них усіх, принаймні, прочитайте заяви.

4) Коли ви думаєте, що ви звикли до своєї ідеї, спробуйте пояснити це комусь. Це дійсно хороший спосіб побачити, чи не помітили щось.

5) Що стосується зауваження про перехід на наступні кілька сторінок: Не очікуйте пройти через рядок книги за рядком, і вам не доведеться повернутися. Можливо, допоможе матеріал пізніше в книзі.

Словом, якщо ви багато працюєте з вашою концепцією, це перестане вас залякати. Не турбуйтеся про досягнення розуміння (аналогічно бачачи справжнє значення), це ніколи не станеться, що добре, оскільки це намагання, яке все одно важливе. Тому продовжуйте намагатися, і весело робити це!

14
додано
Не хвилюйтеся, що ви не знаєте, що означає фон Нейман. Просто звикнете до цього. ;-)
додано Автор Joel Brown, джерело
Найкраще, приклади та контрприклади, найкраще для мене.
додано Автор Michael, джерело
@TimothyChow Дуже хороший каламбур!
додано Автор Loser, джерело

Ви не можете, тому що ви ніколи не захочете. Тут завжди більше зрозуміти будь-яку дану тему.

10
додано
@Mariano: дивіться math.wayne.edu/~isaksen/Expository/narrying. pdf для "когомологічної точки зору на арифметику початкової школи".
додано Автор Sam, джерело
Залежить від того, як повністю ви хочете зрозуміти тему або конкретну концепцію, Theo.
додано Автор Jeremy McGee, джерело
@Steven: будь-яка конкретна нова інформація про базову арифметику, яку ви можете поділитися з нами? : П.
додано Автор Herms, джерело
Парадокс Зенона?
додано Автор Edward Nunn, джерело
@Mariano: перевірте mathoverflow.net/questions/22860/…
додано Автор enmapping, джерело
Це не приклад парадокс Зенона. Той же вкладення часу дає менше і менше повернення в розуміння через деякий час. Розуміння як функції часу, ймовірно, має горизонтальну асимптоту. OTOH, моє розуміння базової арифметики в цьому році значно зросло, і було застійне, оскільки заздалегідь про 5 клас ...
додано Автор enmapping, джерело
Коли я написав $ W_ {p ^ n} $, я мав на увазі, звичайно, $ W_ (p ^ n) \ left (\ mathbb Z \ right) $.
додано Автор James Fee, джерело
Чи знали ви, що якщо ви пишете основні алгоритми додавання та множення в базі 2 як многочленів (тобто $ n $ -й цифру суми як поліноми перших $ n $ -числів збірок і те ж саме для продукт, звичайно, все в $ \ mathbb F_2 $), то ви отримаєте поліноми додаткового/множинного Witt для $ p = 2 $? (Це походить від $ W_ {p ^ n} \ cong \ mathbb Z \ diagup p ^ n \ mathbb Z $ - однак, тільки для $ p = 2 $ цей ізоморфізм дійсно тривіальний, щоб записати).
додано Автор James Fee, джерело

Я, як правило, відчуваю, що я краще розумію конструкцію (проти доказу), коли я можу успішно реалізувати його в коді (зауважте, що це не означає, що навпаки: я б не зрозумів чогось, кого я не кодував). На практиці я наткнувся на те, що програмування призводить до конфронтації з деталями та висвітлює явища, які часто в іншому випадку були б досить незрозумілими або навіть "глибокими". Найкращим в цьому є відсутність неоднозначності щодо того, чи працює код, а також можливість виділяти помилки та виділити сфери будівництва, які ще (можливо, несподівано) незрозумілі.

10
додано

Під «розумінням» шматка математики, ви маєте на увазі:

  • передбачення наслідків визначень та теорем?
  • бути в змозі визначити правду/невірність "природно звучачих" пропозицій?
  • бути в змозі розпізнати, коли результат стосується заданої проблеми?
  • можливість застосувати результати до практичних проблем?

Якщо ви сказали "так" одному або декільком з вищесказаного, то ваше тлумачення діяльності "розуміння математики" --- та, так, це діяльність --- має багато спільного з, і насправді може бути ідентичне підприємству математичних досліджень. Тобто: математичне дослідження не більше або менше, ніж спроба краще "зрозуміти" наші власні математичні ідеї та як вони можуть бути плідно застосовані: як до інших наших математичних ідей, так і до більш "емпірично-схильних" ситуацій.

Furthermore, Turing and Gödel demonstrated that this endeavor is sufficently complicated that it cannot be grasped by any algorithmic approach (at least as we currently understand the concept of an 'algorithm'), and the independence of various 'interesting' propositions from our favourite axiom-systems entail that it is open-ended, i.e. it requires creativity and aesthetic taste on our part as to what mathematical ideas are interesting.

Розуміння математики - це межа необмеженого процесу; це не відбувається, і це не може "статися". Найкраще, що ви можете зробити, це просто займатися діяльністю.

8
додано

I am going to address an aspect of your question that most other respondents seem to have overlooked. It sounds to me that you're asking, how do I know that I've understood a particular concept well enough to be able to turn the page and keep reading?

Я знаю, що деякі студенти, які збиваються під час читання математики, тому що вони відчувають, що вони повинні добре розуміти кожен рядок, перш ніж вони зможуть перейти до наступного рядка. Хоча цей стиль працює для деяких людей, для більшості людей це, як правило, не є найкращим способом поглинути шматочок нової математики.

Коли я намагаюся вивчити новий предмет математики, я, як правило, починаю з фіксації на важливу теорему і робить її метою розуміти цю теорему. Теорема може бути не зазначена прямо на початку, але я повернуся вперед, щоб побачити те, що говорить теорема. Якщо теорема використовує термінологію, якою я не знайома, тоді я повернуся і шукатиме визначення цих термінів. Іноді, щоб зрозуміти визначення, я повинен зрозуміти деякі попередні леми, тому я звернуся до цих лем і послідовувати процес. Тому замість читання форвард я часто читаю назад . На цьому проході я також, як правило, пропущу докази. Лише тоді, коли я добре розумію загальну структуру статті чи книжкову главу, і знаю, де я рухаюсь, чи буду я тоді починати читати один за одним.

Якщо ви приймете цей метод читання, то, як правило, буде зрозумілим, коли ви готові перейти до наступного кроку, оскільки ви будете читати з ціллю .

7
додано
+1 Дійсно хороша стратегія читання математики.
додано Автор jack.valentine, джерело

Ось стратегія, яка добре працювала для мене.

Візьміть результат, який ви хочете зрозуміти, і спробуйте це довести самостійно.

Якщо ти досяг успіху, здорово! Якщо ні, то загляньте на початок докази і закрийте доказ, коли ви дійдете до розуміння, що ви не змогли придумати самостійно. Спробуйте продемонструвати цю статистику та спробуйте завершити доказ з цією інформацією під рукою.

Якщо ти досяг успіху, здорово! Якщо ні, повторіть.

На мій досвід, намагаючись і не в змозі довести результат, ви добре розумієте докази, які працюють. Конструкції, які могли інакше здаватися штучними, часто мають сенс у подоланні певного бар'єру або іншого, на який ти наткнувся.

5
додано
Я не впевнений, що справжній сенс теореми лежить в його доказ. Іноді теорема існує через те, що вона має бути правдою , і доказ це просто тест, який, нарешті, прибив правильні визначення для контексту, який вас цікавить.
додано Автор 0tyranny 0poverty, джерело

Charles Sanders Peirce gave the following advice for increasing the clarity of one's concepts:

Розглянемо, які ефекти можуть бути    передбачувано мають практичні підшипники   ви замислюєте об'єкти вашого    концепція мати. Тоді твій    концепція цих ефектів - це   всієї вашої концепції   об'єкт.

Це називається Прагматичний Максим або Максим Прагматизму , і на ній заснована філософія. Варіанти на тій же темі та трохи експозиції можна знайти тут .

З математичної точки зору, це максимально загальний формат принципу представлення . Його менш вичерпна форма призводить до принципу операційного визначення , який почав надавати певний вплив у науці, найчастіше за допомогою Персі Брідгман .

4
додано

Якщо у вас є колега, який не знає про ідею, яку ви намагаєтесь зрозуміти, але має відповідний фон, це чудово, тому що ви можете перевірити своє розуміння, намагаючись пояснити це. Точно так само, коли я мав нагоду написати короткі виклади або нотатки для розмови на тему, я вважаю, що це дозволяє мені ефективно ідентифікувати та розвіяти багато незрозумілість і непорозуміння, які спливають у великій кількості, коли ви вперше дізнаєтесь про щось Це може бути надмірним, але якщо ви можете суворо і ретельно виконувати цю подію без зміни інтуїції, то ви, звичайно, можете привітати вас, знаючи, про що ви говорите.

3
додано

Я зазвичай вважають себе чимось розумінням, якщо можу це здійснити на комп'ютері. Я роблю алгебраїчну комбінаторику, тому досить легко перевірити тотожність та бікіуми.

В принципі, якщо я можу вчити моєму комп'ютеру концепцію - я повинен розуміти це сам.

3
додано
Не я. Я реалізував купу речей на комп'ютері, не розуміючи, що я роблю. В основному переписання алгоритму або формули з книги або паперу в C ++. Розуміння приходить іноді пізніше при налаштуванні алгоритму і запуску різних входів, хоча це і бачить, як речі реагують на зміни входу.
додано Автор Michael, джерело

Я думаю, я розумію теорему, якщо можу відновити гіпотези, що запам'ятовують лише висновок. Аналогічно, я думаю, що розумію теорію , якщо всі аксіоми здаються розумними та очевидними.

Однак ви не можете отримати це в першому читанні. Як правило, я дозволяю собі продовжувати, якщо доказ теореми змушує мене зацікавити, щоб прочитати деталі, або здається занадто тривіальним для того, щоб потурбуватися. Якщо я не думаю, що зможу це зробити, але не хочу вчитися, то я, очевидно, недостатньо цінував те, що я читав, щоб серйозно спробувати читати більше.

Можливо, остаточним тестом є те, що ви можете використовувати щось наведене теорему.

2
додано
що звучить трохи, як ви вважаєте, тільки зворотна математика дійсно розуміє математику. :-)
додано Автор Ryan Doherty, джерело