Які деякі відкриті проблеми в алгебраїчній геометрії?

Які відкриті великі проблеми в алгебраїчній геометрії та векторних пучках?

Більш конкретно, я хотів би знати, які цікаві проблеми пов'язані з просторами модулів векторних розшарування над проективними різноманіттями/кривими.

49
Я згоден, що це питання є надто широким. Але інакше я не думаю, що це погане питання. Там є аналогічне питання, яке нещодавно було опубліковано на сайті CS теорії SE: cstheory.stackexchange.com/questions/174/ …
додано Автор Zack Peterson, джерело
Будь ласка, обговоріть це питання в цій мета-темі: tea.mathoverflow.net/discussion/640/ …
додано Автор Zack Peterson, джерело
У нас було багато дискусій щодо того, чи достатньою умовою бути хорошим питанням є те, що він дає хороші відповіді. Загальний консенсус (це занадто сильне слово ... думка про множинність?), Здається, "ні". Якщо "занадто широкі/невизначені" були критерієм у переліку причин закриття, я б хотів голосувати, щоб закрити. За моїм коментарем, це питання наразі має чотири голоси, які закриваються як "відмова від теми", але це, звичайно, не так, це просто занадто розпливчасто. Хоча я думаю, що це має бути покращено, і я буду вдаватися до капіталізації.
додано Автор A Salim, джерело
@Gil Kalai: Я міг би неправильно поговорити або неправильно розповісти про мета дискусії, і я прошу вибачення, якщо я неправильно окреслив висновки цих дискусій. (Насправді, у мене складається враження, що ці обговорення тривають.) Якщо я подумав про це питання, я підніму їх на мета-дискусію, яку створив Кевін Лін. Як це, я не маю великих внесків.
додано Автор A Salim, джерело
Це здається зовсім непоганим питанням. Я був би зацікавлений побачити деякі відповіді.
додано Автор Yaakov Ellis, джерело
Як не-геометр, я здивований частиною "... і векторних пучків". Я б розглядав це питання більш вигідним, якщо б було надано більше інформації чи вказівки щодо того, на якому рівні є запитання. Точно так, як хтось із соціальних подій запитує "що ти робиш і чому це важливо", знаючи їхні мотиви або фон допомагає мені вирішувати між "абстрактною математикою" і "гомологічними властивостями напівгрупи та алгебри Фур'є" як відповідь
додано Автор Matt Miller, джерело
@algori - я так здогадувався, але здавалося дивним називати таку широку область, як "алгебраїчна геометрія", а потім щось більш сфокусоване, як "(алгебраїчні) векторні пучки". Було б дуже грубо, як запитати: "Які відкриті проблеми в функціональному аналізі та субнормальні оператори"
додано Автор Matt Miller, джерело
МО питання, як і решта, нам потрібна удача. На це питання пощастило, що Річард Борхердс запропонував дуже хорошу відповідь, і потенційно з'явиться додаткові відповіді, які ми можемо насолоджуватися, і в кінцевому підсумку це буде корисним джерелом. Давайте відкрити це!
додано Автор Pierre Spring, джерело
Тео, це не правильна характеристика дискусій про мета. Це було питання, де існували різні думки. Моя думка полягала в тому, що як і в "математиці реального світу" (та науці), що приваблює хороші відповіді, це заслуга питання. Відповіді можуть дати пророк деякі підказки про те, що шукати в переговорах ICM та статті бюлетенів Mathew згадується. Фактично, хороші відповіді можуть дати корисні посилання на конкретні папери. У будь-якому випадку, я проголосував, щоб знову відкрити.
додано Автор Pierre Spring, джерело
Шановний Тео, не потрібно вибачатися. ми можемо мати різні читання мета-потоків.
додано Автор Pierre Spring, джерело
Я не впевнений, що це має стати проблемою "великого списку". Зазвичай, говорячи про центральних відкритих проблемах в області, ми називаємо короткий список. Можливо, ми повинні чекати з великим тегом списку, поки проблема не буде, 15-20 відповідей.
додано Автор Pierre Spring, джерело
Чи є якісь причини, що це питання не було зроблено великим списком/спільнотою вікі? Звичайно, не є унікальною правильною відповіддю.
додано Автор kevtrout, джерело
Шановний Davidac897, Алгеброгеометричні аспекти програми Ленглендса (в даний момент), в основному, включають в себе (а) вивчення арифметичної геометрії різновидів Шімури та (б), як і в роботі Ного, вивчення порочних пучків на деяких дуже спеціальних алгебраїчних стеків. Хоча обидві області досліджень вимагають дуже складних алгеброгеометричних інструментів, я вважаю, що вони дещо спеціалізовані, щоб бути відповіддю на загальне питання про те, "які великі відкриті проблеми в алгебраїчній геометрії", на відміну від "що великі відкриті проблеми, дослідження яких може вимагати алгебраїчної геометрії ".
додано Автор Zameer Manji, джерело
Чому ви не читали деякі з літератури з цих тем, щоб з'ясувати? Зазвичай недавні переговори ICM, огляд статей у бюлетені та нещодавно опубліковані передові підручники - це хороші місця для початку такого роду речей.
додано Автор Zameer Manji, джерело
Чи можна вважати Ленглендс тут, бачачи, як воно використовує величезну кількість сучасної алгебраїчної геометрії, хоча це, здається, більше в теорії чисел і теорії уявлень?
додано Автор Matthieu M., джерело
Мені подобається це питання, оскільки АГ, як відомо, величезний, тому таке питання може освічувати населення на сучасному стані речей.
додано Автор vettipayyan, джерело
Ємон - існує безліч проблем, пов'язаних з алгебраїчними векторними розшаруваннями. Наприклад, невідомо, чи є всі складні векторні розшарування в складному проективному просторі алгебраїчним (це сильно підозрюється, що відповідь ні, але наскільки мені відомо, це не доведено). Деякі з цих проблем не так добре відомі, як вони повинні бути. Голосування знову відкрити.
додано Автор algori, джерело

11 Відповіді

Деякі з найбільш очевидних:

* Вирішення особливостей в характеристиці p
* гіпотеза Ходжа
* Стандартні припущення про алгебраїчні цикли (хоча це не настільки актуально, оскільки Делінь довів звинувачення Вейля).
* Докази кінцевого покоління канонічного кільця для загального типу використовувалися для відкриття, хоча я думаю, що це недавно було вирішено; Я не впевнений у деталях.

Для векторних пучків довготривалою відкритою проблемою є класифікація векторних розшарування над проективними просторами.

(Додано пізніше) Дуже давня велика проблема полягає в тому, щоб знайти, які модулі просторів кривих є універсальними. Класично, що простір модулів уніоритетний для роду не більше 10, і я думаю, що це зовсім недавно було підштовхнуто до роду приблизно вдвічі. Мамфорд і Харріс показали, що він має загальний тип для роду принаймні 24. Наскільки я знаю більшість інших випадків залишаються відкритими.

33
додано
В кінці її бесіди на Хайдерабадському конгресі Клер Воізін запитала когось, чи вірила вона у припущення Ходжа. Її відповідь була неоднозначною, якщо пам'ять служить мені правильно.
додано Автор Joe, джерело
Правильно пам'ятаєте, ось такий документ: arxiv.org/abs/math/0610203
додано Автор Arjang, джерело
Фаркас довів, що $ \ overline (M) _g $ має загальний тип для $ g = 22 $.
додано Автор user4643, джерело

Дозвольте згадати про пару проблем, пов'язаних з векторними розшаруваннями на проективних просторах.

  1. The Hartshorne conjecture. In its weak form it says that any rank 2 vector bundle on $\mathbf{P}^n_{\mathbf{C}},n>6$ is a direct sum of line bundles, which implies that any codimension 2 smooth subvariety whose canonical class is a multiple of the hyperplane sectionis a complete intersection. In a stronger form Hartshorne's conjecture says that any codimension $>\frac{2}{3}n$ subvariety of $\mathbf{P}^n_{k},k$ an algebraically closed field is a complete intersection. See Hartshorne, Varieties of small codimension in a projective space, Bull AMS 80, 1974. The weak conjecture fails for $n=3$ and $4$ -- there are examples (due to Horrocks and Mumford) of non-split vector bundles of rank 2 on $\mathbf{P}^4_{\mathbf{C}}$, but so far as I know the question if any such examples exist for $n>4$ is open. See here Evidences on Hartshorne's conjecture? References? for a discussion including some references.

  2. The existence of non-algebraic topological vector bundles on $\mathbf{P}^n_{\mathbf{C}}$. It is a classical result that any topological complex vector bundle on $\mathbf{P}^n_{\mathbf{C}}, n\leq 3$ is algebraic, see e.g. Okonek, Schneider, Spindler, Vector bundles on complex projective spaces, chapter 1, \S 6. It is strongly suspected that for $n>3$ there are topological complex vector bundles that are not algebraic. Good candidates are nontrivial rank 2 vector bundles on $\mathbf{P}^n_{\mathbf{C}}, n\geq 5$ all of whose Chern classes vanish which were constructed by E. Rees, see MR0517518. It is claimed there that these bundles do not admit a holomorphic structure, but later a gap was found in the proof. See here Complex vector bundles that are not holomorphic for some more information.

29
додано
Спасибі, Махді, це цікаво. Чи означає це узагальнення на проективні простори вищих розмірів?
додано Автор algori, джерело
Є приклади нерозкладних векторних розшарувань $ $ 2 $ на $ \ mathbb (P) ^ 5 $ з характеристикою $ 2 $ за рахунок Tango і Kumar-Peterson-Rao (самостійно).
додано Автор Mahdi Majidi-Zolbanin, джерело
Ні. Якщо це станеться, тоді ця проблема більше не буде відкритою проблемою.
додано Автор Mahdi Majidi-Zolbanin, джерело
28
додано
Ця проблема є (в) відома. Я втратив свідоцтво про кількість помилкових претензій щодо цього на архівії та в інших місцях.
додано Автор Mike Fielden, джерело
Для гарного вступу до теми, дозвольте мені рекомендувати книгу поліномиальные автоморфизмы і гіпотезу Якобія , Арнольдуса Ріхарда і Петруса ван ден Ессена. З огляду на спрощений виклад, як мало зрозуміло, що ця проблема просто шокує, і перші сторінки книги дійсно допомогли мені розвіяти багато помилкових поглядів.
додано Автор 0tyranny 0poverty, джерело

Linearization Conjecture. Every algebraic action of $\mathbb{C}^*$ on $\mathbb{C}^n$ is linear in some coordinates of $\mathbb{C}^n$. Open for $n>3$.

Cancellation Conjecture. If $X\times \mathbb{C}\cong \mathbb{C}^{m+1}$ then $X\cong \mathbb{C}^m$. Open for $m>2$.

Кулідж-Нагата гіпотеза. Раціональна крива кривизни в $ \ mathbb (P) ^ 2 $ є виправданою, тобто існує бирациональный автоморфизм $ \ mathbb (P) ^ 2 $, який перетворює криву в лінію.

15
додано
Я вважаю, що гіпотеза Coolidge-Nagata тепер відома, див. arxiv.org/abs/1502.07149
додано Автор Totor, джерело

Існує також велике відкрите запитання (я думаю, все ще відкрите) про те, чи раціонально пов'язані різновиди завжди є універсальними. Я думаю, що люди вважають, що відповідь НІ , але вони не знають прикладу.

Joe Harris had some slides a few years ago with regards to this Seattle 2005

14
додано

Можна також згадати ще дві основні відкриті проблеми:

  • Припущення про достаток, вказуючи, що якщо $ K_X + \ Delta $ - klt і nef, то він напів-достатньо (множина не має базової точки)

  • Припущення Гріффіта: якщо $ E $ - достатній векторний пучок над компактним комплексним різноманіттям, то він Griffith-позитивний. (це, звичайно, відомо про лінійні зв'язки)

14
додано
Анрі, чи можете ви додати посилання?
додано Автор Pierre Spring, джерело
Гіфффітська гіпотеза також відома як вірна для загальних векторних пучків на кривих!
додано Автор adum, джерело
Для деяких додаткових обговорень роботи Сиу, перегляньте недавнє запитання mathoverflow.net/questions/31605/…
додано Автор Kenny LJ, джерело
Щоправда, Ю.Т. Сіу нещодавно стверджував, що він довів гіпотезу численності (у варіанті, в якій зазначено, що розмір Кодаїри дорівнює числу кодарійського виміру); ось документ: arxiv.org/abs/0912.0576
додано Автор James Prichard, джерело

Існує також гіпотеза Фудзіта.

Conjecture: Suppose $X$ is a smooth projective dimensional complex algebraic variety with ample divisor $A$. Then

  1. $H^0(X, \mathcal{O}_X(K_X + mA))$ is generated by global section when $m > \dim X$.
  2. $K_X + mA$ is very ample for $m > \dim X + 1$

Це також часто викладається в складному аналітичному світі.

Also there are many refinements (and generalizations) of this conjecture. For example, the assumption that $X$ is smooth is probably more than you need (something close to rational singularities should be ok). It also might even be true in characteristic $p > 0$.

Це відомо в відносно низьких розмірах (до 5 у випадку 1. я думаю?)

13
додано
Тільки частина 1 відома в низькому вимірі - частина 2 відкрита навіть у розмірі 3.
додано Автор Dmitry Shevchenko, джерело

У зв'язку з векторними розшаруваннями над $ \ mathbb (P) ^ n $, робота Харцхорна з 1979 р. Містить список відкритих проблем. Робота є " Алгебраїчні векторні пучки на проективних просторах: список проблем Топологія , 18: 117-128, 1979.

Я не знаю, які з цих проблем залишаються відкритими, але я б зацікавлений в тому, щоб дізнатись, який прогрес був досягнутий з цих проблем з 1979 року.

8
додано
На це було поставлено питання про це, без відповіді (поки що), але кілька коментарів mathoverflow.net/questions/288955/ …
додано Автор Tim Pietzcker, джерело
Один з них простий, але все-таки повністю відкритий: Нехай $ E $ - $ 2 $ -революційний пучок на $ \ mathbb (P) ^ n $ з $ n \ geq 7 $. Тоді $ E $ розділений ...
додано Автор Libli, джерело

Максимальна рангова гіпотеза є однією з основних вирішальних проблем в теорії Брілла-Ноєра, хоча останні досягнення в тропічних методах можуть вказувати шлях на рішення; див. https://arxiv.org/abs/1505.05460 .

EDIT: The Maximal Rank Conjecture was proved by Eric Larson in his PhD thesis; see: https://arxiv.org/abs/1711.04906

5
додано
5
додано
Я хотів би, щоб друга посилання містила деякі проблеми над складними числами.
додано Автор Dr. Guest, джерело

гіпотеза Тейта : дозвольте $ k $ бути скінченно породженим полем, $ X/k $ - гладкий проективний геометрично інтегральний різноманітність та $ \ ell $, що повернуті в $ k $. Потім клас класу циклу $ $ \ mathrm (CH) ^ r (X) \ otimes_ \ mathbf (Z) \ mathbf (Q) _ \ ell \ to \ mathrm (H) ^ (2r) (\ bar (X), \ mathbf (Q) _ \ ell (r)) ^ (G_k) $ $ є сюр'єктивним.

Це, наприклад, Доведена для $ r = 1 $ і абелевих різноманіття, глибока теорема. Див http://www.math.harvard.edu/~chaoli/doc/ TateConjecture.html .

Це аналогічно гіпотезі Ходжа для складних різноманіття.

5
додано