Деформації напівпростих алгебр Лі

У питаннях Чи є "напівпростий" щільний стан серед алгебр Лі? і Що таке закриття Zariski простору напівпростих алгебр Лі? згадується щось еквівалентне наступному: якщо у вас плавно змінюється сімейство напівпростих алгебр Лі, то всі алгебри Лі в сім'ї є ізоморфними. напр. наступну цитату:

"Оскільки класифікація класів ізоморфізму Картана напівпростими є дискретною (без суцільних сімей), пов'язані складові простору напівпростих завжди містяться в класах ізоморфізму."

Я не бачу, як це випливає лише з дискретності класифікації. Чи може хто-небудь пояснити, чому це правда або дати контрприклад?

напр. Ви не могли б мати $ mathbb {P} ^ 1 $ напівпростих алгебр Лі, які є загальними ізоморфними $ mathfrak {d} _7 oplus mathfrak {a} _1 $ кажуть, але в один момент ви отримуєте $ mathfrak {e} _8 $, або щось подібне?

13

5 Відповіді

Хоча я думаю, що те, що писав Йоханнес, є правильним, він пропускає основний принцип. Існує одне пояснення цього факту, який є "дотичним простором до алгебри Лі в просторі модулів алгебр Лі - $ H ^ 2 (mathfrak {g}, mathfrak {g}) $, друга когомологія у сумісному поданні. " Цю групу когомологій можна також ототожнювати з простором розширень алгебр Ли $ mathfrak {g} $ копією приєднаного представлення.

Таким чином, доказовим є те, що або довести, що це 0, використовуючи дію Казіміра, як у книзі Вейбеля, або зауважити теоремою доповнення Леві, що всі абелеві розширення напівпростої алгебри Лі розбиті.

Адже якщо ви мали сімейку $ ільду {mathfrak {g}} $ таких алгебр Лі над $ mathbb {A} ^ 1 $, то ви могли б дивитися на $ ilde { h ^ 2 льда {mathfrak {g}} $ (де $ h $ є параметром на $ mathbb {A} ^ 1 $), і бачимо, що це розширення $ mathfrak {g} $ суміжне представлення.

18
додано
Дотичний простір вимірює поведінку нескінченно близько до точки. Отже, хоча напівпроста річ може вироджуватися до не-напівпростої справи, вона ніколи не буде нескінченно близькою до непростої (в тому сенсі, що ви можете взяти сусідство в просторі структур алгебри Лі, які тільки містить ізоморфні алгебри Лі). З іншого боку, не існує відкритого сусідства навколо тривіальної алгебри Лі, яка містить тільки 0 алгебр Лі.
додано Автор Artem Kaznatcheev, джерело
Це показує, що кожна орбіта, що відповідає напівпростій структурі алгебри Лі, відкрита в просторі всіх дужок Лі і, таким чином, ніхто не може міститися в закритті іншої. Це не зовсім інший аргумент з вашого, але він потрапляє в нього з загального сучасного механізму теорії деформацій.
додано Автор Artem Kaznatcheev, джерело
Це звучить як теоретично кращий спосіб показати це, хоча я не розумію тут усіх деталей. Наприклад, яким чином цей доказ полягає в тому, що ви можете деформувати напівпросту алгебру Лі до нульової алгебри, справжню зміну типу ізоморфізму (скажімо, множивши всі структурні константи на афінний параметр $ t $). Як вищевказаний доказ показує, що не існує такого стрибка від однієї напівпростої алгебри до іншої, не виключаючи переходу до нульової алгебри?
додано Автор panzi, джерело
"Дотичний простір до алгебри Лі в просторі модулів алгебр Лі дорівнює $ H ^ 2 (g, g) $, друга когомологія оцінюється в суміжному поданні." Я знаю, що формальне міркування і це не надто складно бачити, що ця група $ 0 $ для напівпростого $ g $, але як це переводиться в точний аргумент?
додано Автор Wil Selwood, джерело

Експерти повинні виправити мене, якщо у цій суперечці є фатальна помилка, я не є ні алгебраїчним геометром, ні теоретиком Лі. Я працюю над $ mathbb {C} $.

  1. Нехай $ mathfrak {g} $ - це напівпроста алгебра Лі, $ G $ - приєднана група, $ Aut ( Дозволяє $ Aut_0 (mathfrak {g}) $ - підгрупа автоморфізмів, що зберігають розкладання $ mathfrak {g} $ на прості ідеали. Вона має кінцевий індекс у всій групі автоморфізму, оскільки розкладання на ідеали є унікальним і автоморфізм має Наведіть простий ідеал на простий ідеал. Група $ Aut_0 (mathfrak {g} $) є продуктом груп автоморфізмів простих факторів. Група автоморфізмів будь-якої простої алгебри Лі має приєднану групу як кінцеву підгрупу індексів; фактор - група автоморфізмів діаграма Динкина. Підсумком цієї дискусії є: $ Aut (mathfrak {g}) $ має $ G $ як підгрупу кінцевого індексу. Зокрема, розмірність $ Aut ($ mathfrak {g}) $ залежить лише від розміру $ mathfrak {g} $!

EDIT: є кращий доказ цього етапу в літературі, напр. у книзі Процесі, стор.

  1. Нехай $ V $ - множина всіх структур алгебри Лі на $ C ^ n $; на ньому діє $ GL_n $, стабілізатори - це групи автоморфізмів, орбіти є класами ізоморфізму. Тепер нехай $ mathfrak {g} у V $ буде напівпростим і нехай $ O підмножина V $ - його $ GL_n $ -орбіта. Тепер використовуйте теорему закриття орбіти (Borel, Linear Алгебраїчні групи, стор. 53). Вона говорить, що будь-який $ GL_n $ -орбіт $ O $ відкритий у своєму замиканні і що $ a {O} aminminus O $ складається орбіт меншого розміру. Отже, всі алгебри Лі в замиканні $ O $, які не ізоморфні $ \ t повинна мати групу більших розмірів автоморфізму. До частини 1 вони не є напівпростими.
15
додано
Це приємно, і мені цікаво, якщо він дійсно доводить претензію без класифікації.
додано Автор A Salim, джерело
Одна проблема, однак, на кроці 1, коли є повторювані фактори. Наприклад, нехай $ g = sl (2) + sl (2) = sl (2) отіма mathbb C ^ 2 $. Тоді $ Aut (g) $ включає $ GL (2) $, що діє на частину $ mathbb C ^ 2 $. Більш того, ваш $ Aut_0 (g) $ є часткою $ Aut (g) $ цим $ GL (2) $, і, зокрема, не має кінцевого індексу. Але, можливо, я заплутався.
додано Автор A Salim, джерело
Ах, я бачу, що моя помилка --- я заплутав алгебру Лі sl (2) + sl (2) з sl (2) -модулем. Вибачте.
додано Автор A Salim, джерело
Чудово, це виглядає правильно для мене, але я також не експерт!
додано Автор panzi, джерело
До речі, мені здається, що цей доказ показує, що існує лише кінцеве число напівпростих алгебр Лі заданого виміру, не проходячи через класифікацію, хоча, можливо, деякі допоміжні результати, на які ви покладалися, потребують певної частини класифікації.
додано Автор panzi, джерело
Я не думаю, що ви отримуєте повну участь у $ GL (2) $, але тільки перестановку двох складених. Це пояснюється тим, що збірки насправді однозначно визначаються (на відміну від ситуації з модулями). Наприклад, діагональ $ sl (2) $ не є ідеальним!
додано Автор panzi, джерело
Я був збентежений на кроці 1 на деякий час, але результат, звичайно, відомий. Procesi, "Групи Лі. Підхід ...", стор. 301, Теорема 3: "Якщо L - напівпроста алгебра Лі, то її приєднана група є зв'язаною компонентою 1 її групи автоморфізму"
додано Автор Wil Selwood, джерело
І докази в книзі Procesis не використовують класифікацію, а лише повну зводимість L-модулів.
додано Автор Wil Selwood, джерело
@ndkrempel: Я думаю, ви маєте рацію, і це дає доказ того, що існує лише кінцеве число напівпростих алгебр Лі даного виміру. Основним інгредієнтом є повна незвідність уявлень таких алгебр Лі і для цього не потрібні кореневі системи і все таке. Однак, класифікація є таким гарним результатом, що я не бачу сенсу уникнути її.
додано Автор Wil Selwood, джерело

Думаю, що пояснення

"Оскільки класифікація ізоморфізмів Картана напівпростими є дискретною (без суцільних сімей), зв'язані компоненти простору напівпростих завжди містяться в класах ізоморфізму"

is a bit simplistic. The real reason, as many people have already mentioned, is Weyl's theorem on complete reducibility, which of course fails in charatcteristic $p$. And it shouldn't come as a surpise that over an algebraically closed field $K$ of characteristic $p>3$ one encounters situations where there are finitely many isoclasses of simple Lie algebras of dimension $N$ and, at the same time, there exist algebraic families of simple $N$-dimensional Lie algebras {$\mathfrak{g}_t|\ t\in K$} over $K$ such that $\mathfrak{g}_t\cong L$ for all $t\ne 0$ and $\mathfrak{g}_0\not\cong L$ for some simple Lie algebra $L$.

Indeed, let $N=p^2-2$. Then it follows from the the classification theory that there are finitely many isoclasses of simple $N$-dimensional Lie algebras over $K$. Now consider the associative $K$-algebra $A$ generated by two elements $x,y$ such that $x^p=y^p=0$ and $[x,y]=1$. This is a fake modular version of the first Weyl algebra, and it is easy to see that it is simple and has dimension $p^2$. It has a finite increasing algebra filtration (with $x,y$ living in degree $1$) such that the corresponding graded algebra $P:={\rm gr}(A)$ is the truncated polinomial ring in $x,y$ with induced Poisson bracket satisfying {$x,y$} $=1.$ Then the Lie algebra $[A,A]/K1$ is isomorphic to $\mathfrak{psl}_p(K)$ whilst the Lie algebra {$P,P$}$/K1$ is nothing but the simple Cartan type Lie algebra $H(2;\underline{1})^{(2)}$. Both Lie algebras are simple of dimension $N$ and the latter is a contraction of the former. Moreover, they are not isomorphic when $p>3$.

6
додано

Локально в будь-якій безперервній сім'ї напівпростих алгебр Лі ви можете вибрати (постійну) подсемейство подалгебр Картана і т.д.

2
додано

Якщо ви виявите, що нестандартні аргументи більш інтуїтивно привабливі, вас може зацікавити нестандартний доказ цього результату, який з'являється в Springer LNM 881 `Нестандартний аналіз 'Луца і Гозе, стор.140.

0
додано