Параметризація кордону набору Мандельброта

Хто-небудь знає, як параметризувати кордон набору Мандельброта? Я не фрактально-геометр чи динамічна система людини. У мене просто є простою цікавості з цього питання.

Набір Мандельброта зазвичай визначається як множина $ M $ всіх точок $ c \ in \ mathbb (C) $ така, що ітерації функції $ z \ mapsto z ^ 2 + c $, починаючи з $ z = 0 $ , залишаються обмеженими назавжди. Найбільш дуже гарні зображення набору Мандельбру показують $ M $ як перетин нескінченної послідовності множин $ M_1 \ supset M_2 \ supset M_3 \ supset \ cdots $, де границя $ M_i $ - це крива $ | z_i (c ) | = K $. Тут $ z_i (c) $ - це $ i $ -й ітерація $ z \ mapsto z ^ 2 + c $, починаючи з $ z = 0 $, а $ K $ - деяка константа, яка гарантує, що майбутні ітерації втечуть. Ці криві $ \ partial (M_i) $ керують глядачем, щоб побачити все більш заплутані частини набору Мандельброта.

Кожна з цих кривих $ \ partial (M_i) $ аналітична і замкнута. Таким чином, вони можуть бути добре параметризовані з тригонометричними рядами. Щоб бути більш конкретним, кожна межа має параметризацію форми $$ z (t) = \ sum_ (k = 0) ^ \ infty a_k \ cos (kt) + i \ sum_ (k = 0) ^ \ infty b_k \ sin (kt). $$ (Насправді, оскільки кожна межа $ \ partial (M_i) $ визначається рівнянням поліноми в реальній і уявній частинах $ c $, я думаю, що кожна з цих рядів повинна закінчуватися. Виправляти мене, якщо я помиляюся.) Я хотів би Подумайте, що обмежувальний шлях повинен також мати деяку гарна параметризація з тригонометричними рядами. Чи є ця межа однаковою для всіх $ K $? Якщо ліміт не однаковий для всіх $ K $, чи існує ліміт як $ K \ rightarrow \ infty $? Які коефіцієнти Фур'є?

21
Ваша запропонована гранична параметризація, здається, не однозначно визначена, оскільки існує (наскільки я знаю) не канонічну параметризацію одиничного часу, а коефіцієнти Фур'є змінюються шляхом репараметризації.
додано Автор ricree, джерело
Чому б не просто параметризувати граничні криві за довжиною дуги? Так, довжина дуги збільшується до нескінченності, але ви продовжуєте стискати його в одиницю інтервалу.
додано Автор Yursev, джерело

6 Відповіді

Розширена відповідь Лассе: Хай $ \ psi $ - карта зовнішнього вигляду одиничного диска на зовнішність набору Мандельбру, з послідовністю Лорана $ $ \ psi (w) = w + \ sum_ (n = 0) ^ \ infty b_n w ^ (- n) = w - \ frac {1} {2} + \ frac {1} {8} w ^ {- 1} - \ frac {1} {4} w ^ {-2} + \ frac {15} {128} w ^ {-3} + 0 w ^ {4} - \ frac {47} {1024} w ^ {- 5} + \ dots $ $ Тоді, звичайно, границя набору Мандельброта є зображенням одиничного кола під цією картою. Однак це залежить від (ще не доведеної) локальної зв'язності цієї кордону. Тут для коефіцієнтів $ b_n $ відсутня відома замкнута форма, але їх можна обчислити рекурсивно. Звичайно, ми поставили $ w = e ^ {i \ theta} $, а потім це ряд Фур'є.

21
додано
Джеральд: це виглядає досить добре. Чи є це межа цих граничних кривих? Чи можете ви дати посилання на рекурсивну формулу для коефіцієнтів $ b_n $?
додано Автор J. Chomel, джерело
Джеральд: Я думаю, що я знайшов хороше місце в Інтернеті, щоб прочитати про це, на сторінці mrob.com /pub/muency/laurentseries.html" . Дякую, що вказали мені в правильному напрямку.
додано Автор J. Chomel, джерело
додано Автор Adam, джерело

Я не зовсім впевнений, що ти питаєш. Межа мандельбротського набору, звичайно, не є аналітичною кривою. Фактично, знаменитий результат Шишикури показує, що межа комплексу Мандельброта має розмір Хаусдорфа 2.

Дійсно, навіть невідомо, чи границя крива взагалі (тобто локально пов'язана): це наразі, напевно, найвідоміша гіпотеза в одномірній голоморфній динаміці.

Якщо набір Мандельбро є локально пов'язаним, то існує природне опис кордону набору Мандельброта (як граничні значення карті Рімана додатка $ M $); це також багато в чому є природним комбінаторним описом. Однак, як згадувалося вище, ця параметризація не є аналітичною або навіть $ C ^ 1 $.

10
додано
Ласссе: Я питаю про граничні криві $ \ partial (M_i) $, аналітичні для всіх $ i $ та всіх $ K $. Наприклад, якщо $ K = 2 $, то $ \ partial (M_1) $ - це кола $ | c | = 2 $, $ \ partial (M_2) $ - крива $ | c ^ 2 + c | = 2 $ , $ \ partial (M_3) $ - крива $ | (c ^ 2 + c) ^ 2 + c | = 2 $ і т. д.
додано Автор J. Chomel, джерело
Я думав, що ти питаєш про межу цих кривих, що є межами набору Мандельброта? Слід зазначити, що більш природне наближення кордону набору Мандельброта буде здійснюватися через набори рівнів уніфікованої функції доповнення $ M $ ("еквіпотенційні"). Якщо $ K $ є достатньо великим, ці еквіпотентиви будуть близькі до кривих, які ви описуєте.
додано Автор isomorphismes, джерело

Щоб розширити відповідь Джеральда Едгара, деякі ключові фрази, які ви можете ознайомитись, - "потенціал Доуді-Хаббарда" та " зовнішні промені . "

Зовнішній промінь - це зображення променя $ \ arg z = \ theta $ для фіксованого $ \ theta $ при конформному карті Джеральда $ \ psi $.

Потенціал Дауді-Хаббарда - це просто гармонійний кон'югат арбітражу зовнішнього променя: це потенціал для які зовнішні промені є лінійними полями.

Я впевнений, що не доведено, що $ \ psi (\ zeta) $ добре визначено для всіх $ \ zeta $ на одиничному колі, але, я думаю, це гадають так. (Іноді це виражається так, як кажуть, що зовнішній промінь "землі".) Проте зовнішні промені при раціональних кутах $ 2 \ pi m/n $, як відомо, приземляються, і, крім того, пов'язана динаміка в точках приземлення на кордоні до частки $ m/n $ на справді приємний спосіб. (Там є аналогія між картою подвоєння $ \ theta \ mapsto 2 \ theta $ на колі і голоморфні карти $ z \ mapsto z ^ 2 + c $ і динаміку $ \ theta $ під першу карту пов'язані з динамікою карти $ z \ mapsto z ^ 2 + c_ \ theta $, де $ c_ \ theta $ - це точка прицілювання відповідного променя на межі комплексу Мандельбрута). Таким чином, ця параметризація кордону дійсно є важливим і природним об'єктом (якщо вона добре визначена, як угадана).

6
додано

$\psi(w)$ is called Jungreis function
Mandelbrot set boundary as the image of unit circle under Jungreis function

Ось деякі зображення, код та опис, що показують деякі параметри:

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jungreis.svg - using Jungreis function

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lemniscates5.png

коло до граничної параметризації

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jung200.png

Метод Ньютона:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandelbrot_set_Component_by_Newton_method.png

Коло до компонента (або його частини):

http://commons.wikimedia.org/w/index. php? title = Файл: Mandelbrot_set_Components.jpg

4
додано

Моя гіпотеза полягає в тому, що така параметризація не спрацює. Спробуйте щось подібне для більш простого (в певних точках зору) структури, такої як сніжинка Коха. Чи буде ваш підхід до параметризації дозволити вам генерувати функцію на основі $ n $, кількість рекурсивних ітерацій, які використовуються для створення сніжинки на певній глибині? Я б не думав. Можливо, ви зможете, принаймні для кривої Коха, параметризувати корпус "гумової частини" навколо нього, але це буде тривіальним для більшості рекурсивно визначених об'єктів.

1
додано

Погляньте на "Зовнішні кути". Очевидно, лінія, що надходить з нескінченності під будь-яким кутом, завжди залишаючись перпендикулярною до потенційних ліній, в кінцевому підсумку торкнеться набору.

http://mathr.co.uk/blog/2013-02-01_navigating_by_spokes_in_the_mandelbrot_set.html

http://mathr.co.uk/blog/2013-10-02_islands_in_the_hairs.html

Я все ще намагаюся зрозуміти точно математику за собою. Його джерела Haskell крипто мені.

0
додано