Приклади нестрого, але ефективного математичного методу в фізиці

Є ситуації застосування математики з фізики, які

  • , здається, добре працюють для фізиків (наприклад, вони погоджуються з експериментальними даними)
  • але вважаються неприйнятними або, принаймні, не суворими для математиків

Будь ласка, допоможіть мені зібрати кілька прикладів. Які з цих методів були в кінцевому підсумку зроблені строго?

Дякую.

Я прошу вибачення, якщо це питання може здатися неприйнятним для МО. Я розглядаю ці приклади як чудове джерело проблем досліджень для математиків, які цікавляться математичною фізикою.

35
Правило 42: Будь-яке запитання, яке отримує анімований файл gif для відповіді, має бути закрите. Серйозно, питання "великого списку" потребують набагато більшого обґрунтування та фону, щоб бути хорошими питаннями. Чому ви це зацікавлені? Як це допоможе вам у вашому математичному дослідженні? Яка проблема у вашому дослідженні це пов'язано з цим?
додано Автор Bob, джерело
Це останнє речення - це не відповідь на питання, які я поставив у моєму коментарі. Я розглядаю це як абсолютно пусте. Ви серйозно кажете, що ви хочете спрямувати людей, яких цікавить математична фізика, до цього списку? У вас є такий збір людей на увазі? Ви сподіваєтеся отримати проблему дослідження з цього списку?
додано Автор Bob, джерело
Як навпаки - чи є насправді багато ( будь-яких!! ) прикладів методів суворого у фізиці (де фізики дійсно використовують суворі деталі цієї теорії) ? Я не намагаюся бути базіоном-фізиком (ну, не надто багато!), Але, наприклад, Майже всі фізики, з якими я зустрівся, дуже мало знали про належне обґрунтування для аналізу Фур'є, вірогідності, обчислення чи навіть складних чисел, наприклад, тому я вважаю, що сувора фізика набагато виняткова, ніж не сувора фізика! (Я не обов'язково вважаю, що строгість є бажаною властивістю в фізиці, проте ...)
додано Автор Alex Angas, джерело
Як щодо: використання ренормгрупової "групи" (включаючи пертурбативні розрахунки груп перенормировки з використанням епсілон-розширення), зокрема, при вивченні самоперешкодних прогулянок. Мабуть, дуже багато "фізиків" "відомий", що ще не доведено математиками. Я хотів би побачити повне обговорення цього з обох сторін. Яка математична перспектива на ці методи? Я не кваліфікований, щоб винести відповідь із цього.
додано Автор NotDan, джерело
@ Андрю Стейсі. Ну, я хочу зібрати "звіти про помилки" з математичної фізики, потім "виправити" їх. Я не можу це зробити окремо, але, на щастя, я не тільки це зацікавлений.
додано Автор Adobe, джерело
@Кайочу Юань: обидва питання стосуються співвідношення математики та фізики, але вони не однакові. Застосування інтуїції від фізики до математичних завдань, безумовно, відрізняється від мого питання.
додано Автор Adobe, джерело
Інше питання в основному здається орієнтованим на відносно елементарні програми, тому я думаю, що якщо ви обмежили увагу цього питання до складних програм (наприклад, розрахунків теорії струн або щось подібне), це буде добре.
додано Автор Assaf Lavie, джерело
Related (дублікат?): mathoverflow.net/questions/46883/…
додано Автор Assaf Lavie, джерело
Так, це дуже відповідне питання для МО.
додано Автор a_henderson, джерело

10 Відповіді

Можливо, було б недоцільно цитувати Майлз Рейда на Bourbaki семінар на Маккей листування тут:

"Фізики хочуть зробити інтеграли шляху, тобто вони хочуть інтегруватися якийсь "Діючий Людина функціональний" над простором всіх шляхів або петлі $ \ gamma: [0; 1] \ rightarrow Y $. Це неможливо великий інтеграл є одним з основних розколів між математикою і фізза. Фізики навчитися ряду обчислень з кінцевими термінами, що наближають їх інтеграли до шляху, і коли вони досить кваліфіковані та творчі, можуть використовувати їх для виникнення чудових наслідків; в той час як математики відмовляються від розуміння простору шляхів, а не нечасто одержуючи задоволення або недоречне відчуття переваги, зазначаючи це фізичні розрахунки можуть однаково добре використовувати (або зловживати!), щоб довести 0 = 1. Може бути настав час, деякі з нас також розвинули якусь майстерність та уяву. Мотиваційна інтеграція Оброблена в наступному розділі побудована мініатюрна модель цілісного фізичного шляху фізики ... "

35
додано
"Може, настав час, коли хтось з нас також розвинув якусь майстерність та уяву". Люби це. Я б хотів, щоб я міг застосувати +1 прямо до Miles Reid.
додано Автор Neil Williams, джерело

Нарешті, питання про переповнення математики, що стосується моєї спеціальності: не строгість!

Нижче наведено кілька незрозумілих прикладів, що застосовуються до доказів для подвійних ситуацій:

  1. Гетеротичний тип II. У попередні часи найкращими доказами для подвійності гетеротичного типу II було а) підрахунок кількості суперсимметрій теорії та (б) порівняння просторів модулів.

  2. AdS-CFT. Для AdS-CFT найперші та найкращі порівняння складали підрахунки так званих аномальних розмірів різних операторів. На сьогоднішній день, я думаю, тести далекі від строгості (і так, це було б великою проблемою, щоб зробити математичну точність).

  3. Дзеркальна симетрія, ранні дні. Нагадаємо, що дзеркальна симетрія в просторі СІ модулів походить від побудови діаграми характеристик Ейлера повних перетинів CY і помітити симетрію діаграми про нуль. Інші неузгоджені аргументи включають в себе підрахунок розмірів (просто розмірів) модулів об'єктивів, які, мабуть, є дзеркальними. Потім існує старий обчислювальний на площині простір і пропустити суперсимметрія - піклуватися про кращий спосіб.

  4. Теорія поля з низькою енергією. Те, що ця теорія струн зменшується до часто ідентифікованої QFT в умовах обмеження низької енергії, є величезним джерелом аргументації/натхнення в теорії струн. Облік (ефективних) чорних дір допомогло привести до М-теорії в одному контексті, а також до мікроскопічного опису чорно-діркової ентропії в іншому. Можна також сперечатися про подвійність, визначаючи еквівалентне поле вмісту в двох різних моделях. Це дає ще одну точку.

  5. Інваріантність станів BPS при збуреннях. Це чудово прийняти величину, яка не змінюється і оцінювати її в межах, де її легко обчислити. Цей арґумент з'являється знову і знову у фізиці, а також у математиці, звичайно (наприклад, в термоядерному доказі теореми індексу). Номери BPS це просто. (Звичайно, вони різняться, а послідовність відповідних параметрів фізичних [цифри не обов'язково є фізичними величинами] є підставою для цікавих пояснень перехрестя.)

Я, ймовірно, включаю занадто багато людей, які не підходять і не включають багато що. Дуже не суворий з мене!

25
додано
З цього поста я можу не ригорочно зробити висновок, що всі приклади пов'язані з теорією струн: -P
додано Автор Jaco Briers, джерело

Інтеграл шляху Фейнмана в квантову теорію поля. Вона передбачає інтеграцію між просторами полів, використовуючи незмінні заходи.

23
додано
Що означає "немає межі континууму для полів Хіггса"? Чи означає це, що немає кандидата на обмеження безперервності, прийняте фізичним співтовариством? Чи не існує кандидата, який приймається спільнотою математики фізики? Що немає правдоподібного кандидата, якого хтось придумав? Що є хороша фізична "причина", чому жодна така межа не може бути визначена? Що є хороша математична "причина", чому жодна така межа не може бути визначена? Я дуже мало знаю про обговорювані фізичні/математичні моделі, але мені дуже цікаво, що означає або може означати ваше твердження.
додано Автор Sajee, джерело
Два зауваження: 1) існує суворе поняття про інтеграцію між просторами полів. Він чудово підходить для ряду квантових теорій поля в просторово-часовому вимірі 2 і 3. Це може навіть частково доведено, що він працює (див. Роботу Балабана, Магнена, Рівассеау, Сенеора та інших) у вимірі 4. 2) Стандарт Сама модель фізики часток не просто не суворі, але майже напевно не існує в сенсі попереднього коментарю. Для полів Хіггса немає межі континууму.
додано Автор dwj, джерело
Я думаю, що це класичний прототип з сучасної фізики, і це чудовий виклик тезі, що математика та її застосування до фізики діють на однакових постулатах. Ось приклад будівництва, який повністю не має сучасної суворості, та все ж таки був неймовірно успішним, як Теорія фізичного світу. При всій справедливості, однак, існує постійна спроба поставити її на суворій основі.
додано Автор Jeremy McGee, джерело
@Andrew L: Буду вдячний, якщо ви надасте більше деталей, можливої ​​посилання, про поточну спробу, про яку ви згадуєте. Я знаю, що є такі спроби, зокрема, використовуючи одягнені частинки. Дякую.
додано Автор Adobe, джерело
@ Лай: дякую Я думаю, що це дуже центральне в тому сенсі, що метод перенормировки/регуляризації виправдовує стандартну модель фізики частинок, але в той же час вона забезпечує джерело розбрату між цим і силою тяжіння. Отримані інфініти використовуються деякими фізиками як виправдання для дискретних моделей простого часу, які успішні в обчислювальної фізиці, але мені важко впоратись з інваріантністю Лоренца.
додано Автор Adobe, джерело
Луїгі, це означає, що QFT з скалярними полями, як правило, не асимптотично вільними. Деяке з'єднання стає великим на коротких відстанях і не дозволяє вам брати континуальний ліміт. Щоб визначити теорію, потрібна додаткова інформація на коротких відстанях. Але, звичайно, немає підстав вважати, що Стандартна модель, включаючи Хіггса, повинна суворо існувати як QFT на всіх енергетичних шкалах, і багато причин думати, що це не так. Ось чому теоретики частинок вважають це ефективною теорією низьких енергій, і сподіваються, що LHC надасть деяку інформацію про його завершення на короткі відстані.
додано Автор julianrabe, джерело

alt text

17
додано
Приємно, і, звичайно, фізика використовує дельта-функцію, це неприпустимий спосіб. Але ... чи теорія розподілу в принципі не покладає це на досить міцну математичну основу? Таким чином, це, здається, є іншим прикладом для інтегрального шляху Фейнмана - існує рішуча версія, просто не використовується ...
додано Автор Mark Norgren, джерело
@Кайочу: Так, ладно, я повинен читати детальніше !!
додано Автор Mark Norgren, джерело
Може бути, ви повинні також показати перші та другі похідні?
додано Автор mreggen, джерело
О.П. запитує, "які з цих методів були в кінцевому підсумку зроблені суворі?" Фізики використовували дельта-функції задовго до того, як математики записали сувору теорію розподілу.
додано Автор Assaf Lavie, джерело

метод репліки та методом порожнини були використані фізиками для обчислення термодинамічних величин в різних параметрах статистичної механіки (включаючи досить багато класів випадкових комбінаторних об'єктів). Результати часто точно правильні, навіть якщо цей метод є зовсім не суворим. Мішель Талагранд нещодавно суворо доказав деякі результати, отримані за допомогою цих методів .

10
додано
Моїм улюбленим прикладом цього є використання методу репліки Мезардом і Паризі в середині 1980-х років, щоб "довести", що очікуване оптимальне значення задачі присвоювання (з витратами, обраними випадковим чином з рівномірного розподілу [0,1]) є $ \ zeta (2) = \ pi ^ 2/6 $. Лише до 2000 року Олдос опублікував суворе доказ.
додано Автор Ethan, джерело

Використання випадкової матричної теорії для моделювання енергетичних рівнів важких ядер та інших фізичних систем. Див також наступний історичний твір та зображення в ній: там є вражаючим статистичним доказом того, що власне значення великих випадкових самосопряженных матриць, енергетичних рівнів важких ядер і нормованих нулів $ L $ -функцій (!) всі відстані приблизно однакові.

6
додано

У граничних задачах фізики вважають нескінченність (в просторі і в часі) частиною кордону. Математики знають, що існує різниця між компактними та некомпактними просторами.

3
додано

Інший приклад з теоретичної фізики високих енергій, який я зустрічав: іноді, коли фізики мають деяке рівняння руху для довільного числа $ N $ часток з позиціями $ x_i $, наприклад щось у формі $ \ frac (1) (N) \ sum_i f (x_i) + \ frac (1) (N ^ 2) \ sum_ (ij) g (x_i, x_j) = 0 $, вони хочуть знати, що рішення цього рівняння виглядають як великі $ N $. Техніка, яку вони використовують, полягає в тому, щоб замінити змінні $ x_i $ з мірою імовірності $ \ mu $ на простір їх можливих значень, яка, як передбачається, представляє число $ x_i $ у даній області в великих $ N $, а замість рішення вихідного рівняння вони вирішують аналогічне рівняння в $ \ mu $, наприклад $ \ int f (x) \ mathrm (d) \ mu (x) + \ int g (x, y) \ mathrm (d) (\ mu \ times \ mu) (x, y) = 0 $. Насправді не складно придумати такий іграшковий приклад, де оригінальне рівняння можна точно розв'язати для всіх $ N $, а рішення "виглядають" як певний розподіл імовірності у великій ліміті $ N $, але це розподіл ймовірності не вдається задовольняють відповідному рівнянню, і з цієї причини я маю певні сумніви в тому, що цей метод можна перетворити на щось суворе.

2
додано
Що турбує мене дорогою більше, ніж приклад "ілюстративний" або "загальний" або за участю "системи рівнянь", а не єдине "рівняння", є наступне. По-перше, ваші (нові) рівняння не є (оригінальною) формою "сума функції з одним пунктом плюс функція з двома точками з нормою $ 1/N $", або я не бачу, як це можна зробити після того, як Градієнт входить у картину. По-друге, $ x_i $ s - це точки в площині, тому мені цікаво, що означає позначення $ \ partial/\ partial x_i $. (продовжувати)
додано Автор Konrad Rudolph, джерело
Дійсно, рівномірні розподіли імовірностей на $ N $ -й корені одиниці збігаються з рівномірним розподілом імовірності на одиничному колі, коли $ N $ йде до нескінченності - для декількох способів збіжності, кожен з яких має абсолютно точне визначення спасибі. Але чи можете ви пояснити "приклад іграшки, в якому оригінальне рівняння можна точно вирішити і т. Д." які ви натякнули на свій пост? Ми знаємо, які заходи тепер $ \ mu_N $, але якими є функції $ f $ і $ g $?
додано Автор Konrad Rudolph, джерело
Кожен $ (x_i) _ (1 \ le i \ le N) $, який вирішує ваше перше рівняння, дає дискретну міру імовірності $ \ mu_N $, яка вирішує ваше друге рівняння. Отже, що ви говорите, що в прикладі для іграшок: 1. рішення $ \ mu_N $ першого рівняння унікальне для кожного досить великого $ N $; 2. мір імовірності $ \ mu_N $ виглядає як $ \ mu $, коли $ N \ to + \ infty $; 3. Захід імовірності $ \ mu $ не вирішує другого рівняння. Хммм ... Якщо "виглядає як" означає "сходиться до", ви можете роз'яснити відповідний спосіб конвергенції заходів (і/або сам приклад іграшки).
додано Автор Konrad Rudolph, джерело
Я не можу зрозуміти цю останню формулу у контексті вашого оригінального повідомлення. Вибачте
додано Автор Konrad Rudolph, джерело
(продовження) Нарешті, я сумніваюся, що рішення вашої системи рівнянь буде таким, що кожний $ | x_i | = 1 $, не обмежуючи їх, але потім $ | x_i | ^ 2 = 1 $, отже функції з одноточею зникають чи що? Гаразд, я думаю, що я повинен перестати пихати про це, і я буду. Дякую за вашу реакцію на мої запитання.
додано Автор Konrad Rudolph, джерело
Ну, підхід до відповідного визначення "сходиться до" стане однією з труднощів у створенні техніки строгої, але в прикладі іграшки рішення для даного $ N $ складалося з $ N ^ (\ mbox (th) } $ коріння єдності в комплексній площині, а розподіл імовірності вони "виглядають" - це засіб, рівномірно сконцентрований на одиничному колі. Я не знаю, чи існує якесь поняття конвергенції, але реальні приклади, які я бачив, мали однакову форму (тобто множини точок, лежачих рівномірно на підмногообразиях $ \ mathbb (R) ^ n $, наближені рівномірними заходи)
додано Автор FloodLuszt, джерело
Боюсь, я не пам'ятаю деталі, хоча IIRC це було щось просте, як $ \ partial/\ partial x_i \ left (\ sum_j | x_j | ^ 2 - a \ sum_ (jk) | x_j - x_k | ^ 4 \ right) = 0 $.
додано Автор FloodLuszt, джерело
О, коли я прочитав ваш перший коментар, слід додати, що рішення у прикладі $ \ mu_N $ в даному прикладі були далеко не унікальними.
додано Автор FloodLuszt, джерело
Формула не з форми, наведеної в прикладі мого оригінального повідомлення; а не єдине рівняння, він дає рівняння для кожного $ x_i $ з точки зору інших $ x_j $, які потрібно вирішити одночасно. Аналогічна задача, що стосується міри $ \ mu $, передбачає одночасне вирішення рівняння в $ \ mu $ з вільною змінною $ x $ для кожного $ x $. Вибачте, якщо це було незрозуміло в моєму відповіді, але приклад був лише наочним ілюстративним, а не повністю загальним (і я мав написати "систему рівнянь", а не "рівняння").
додано Автор FloodLuszt, джерело

Рівняння Янга-Міллса експериментально перевірені, але не мають сильних математичних основ. У Інституті математики з глини, проблема масового розриву коштує один мільйон доларів.

1
додано
Чому у них немає "сильних математичних основ"? Навіть ми не знаємо багато про них, чи не вони точно визначені </а>?
додано Автор Benny, джерело

Наближення гіперточечного ланцюга, що використовується в статистичній механіці.

Було використано, наприклад, в теорії ефекту дробного квантового залу Лафліном для оцінки енергій елементарних збуджень хвильової функції Лаолліна.

1
додано