половина ітерації $ x ^ 2 + c $

I'm looking for literature on fractional iterates of $x^2+c$, where c>0. For c=0, generating the half iterate is trivial.
$$h(h(x))=x^2$$ $$h(x)=x^{\sqrt{2}}$$

The question is, for $c>0,$ and $x>1$, when is the half iterate of $x^2+c$ smaller than the half iterate of $x^2$? We know that the full iterate is always larger, since $x^2+c>x^2$, for $c>0$, and $x>1$. Intuitively, one would think that the half iterate of $x^2+c$ would also always be larger, but I believe I have found some counter examples.

Вивчаючи параболічний випадок для $ c = 0.25 $, я вважаю, що $ x = 800000000 $ є протилежним прикладом. $ 800000000 ^ {sqrt {2}} приблизно 3898258249628 $, але я розраховую половину ітерації $ f (x) = x ^ 2 + 0.25 $, $ h_ {x ^ 2 + 0.25} (800000000) приблизно 3898248180100 $ , що менше.

For $c=0$, this is the equation for the superfunction which can be used to calculate fractional iterations. $f(x)=x^2$, and $g(x) = f^{o x}$, $g(z) = 2^{2^z}$. For $c=0.25$, this is the parabolic case, which has been studied a great deal in understanding the mandelbrot set, and the superfunction is entire, and I presume there is a uniqueness criteria. For $c>0.25$, the problem becomes trickier because $x^2+c$ has complex fixed points, and I am also looking for any literature on unique solutions to calculating real valued fractional iterates for $c>0.25$.

Мені також цікава функція абеля $ x ^ 2 $, яка є $ {abel} (z) = log_2 (log_2 (z)) $. Мене цікавить функція абеля $ x ^ 2 $, складена з суперфункцією $ x ^ 2 + c $. $$ eta (z) = {{abel} _ {x ^ 2} ({суперфункція} _ {x ^ 2 + c} (z)) - z $$

У міру зростання реальних $ z $, якщо $ eta $ сходиться до $ 1 $ -циклічної функції, на відміну від постійної, то існують лічильні приклади, як я дав, а іноді суперфункція росте повільніше, ніж $ 2 ^ {2 ^ z} $, а в інших випадках вона зростає швидше, причому дві функції перетинаються один з одним нескінченним числом разів. Мені також цікаво, якщо $ ата $ сходиться до аналітичної функції? Будь-які відповідні посилання будуть оцінені - Шелдон

18
Привіт Шел - це дійсно дивно і цікаво! Тільки для запису: я відтворив ваш контрприклад до більшої точності цифр і такого ж результату (Pari/GP, точність 800 цифр, фіксація 0,5, квадрат 64x64 трикутного carlemanmatrix для g (x) = x + x ^ 2, що відбувається шляхом оновлення поліном на фіксованій точці)
додано Автор Hobo, джерело
Посилання на можливу пов'язану задачу: Розглянемо рекурсивне визначення $ gama (x) = x gama (x-1) + 1/e $. Він відрізняється від рекурсивного визначення $ -гамма-функції постійним членом, трохи аналогічно тому, як з функціями $ x ^ 2 $ і $ x ^ 2 + c $. Тут $ gamma (x) $ є "неповною гаммою" і просто однією з двох частин інтегрального представлення самої $ Gamma $, що визначається границею інтеграла. Те, з чим я займаюся, - чи можна тут проаналізувати зв'язок між нашими двома суперфункціями в світлі того, що між $ Gamma $ і $ gamma $ (але поки що немає ідеї).
додано Автор Hobo, джерело
@did: я використовую метод підсумовування на основі трикутних матриць; основним методом є матриця-реалізація Ейлера-підсумовування, по суті з використанням (потужностей) біноміальної матриці. Для серії з гіпергеометричною швидкістю росту використовую експериментальну (ще не доведену) модифікацію цієї матриці. У мене є кілька альтернативних підсумків, і якщо результати підозрілі, я перевіряю їх. Ще я знаю і (намагаюся не забувати) стверджувати, що результати є апроксимацією/асимптотикою до цих пір. Нарешті: все це все ще надто коротке, а для подолання системних проблем також необхідний новий розумний підхід.
додано Автор Hobo, джерело
@did: розбіжність іноді може бути оброблена, щоб прийти до розумних/дійсних значень у будь-якому випадку - вражаючий приклад - серія Ейлера $ f (x) = 1! - 2! X + 3! X ^ 2 - ldots + lots $, що має нульовий радіус збіжності, але може бути підсумований у будь-якому випадку (див. "Борель-підсумовування"). Для моїх обчислень я використовую або адаптовану версію суми Noerlund і/або зменшуючи x до менших значень, використовуючи функціональні відносини різних x (точні) цілих ітерацій g (x) -функції до нуля. Я зупиняю це скорочення, якщо у мене 20 або 30 цифр наближене, але це може бути покращено.
додано Автор Hobo, джерело
@did: (... cont ...) ad a): коефіцієнти $ d (x) $ у описаній версії є раціональними числами, тут перші кілька $ d (x) = x + 1/2 x 2 - 1/4 x ^ 3 + 1/4 x ^ 4 - 5/16 x ^ 5 + 27/64 x ^ 6 - 9/16 x ^ 7 + O (x ^ 8) $. Вони розходяться пізніше з більш ніж геометричною нормою, але ще немає короткого опису загального терміну.
додано Автор Hobo, джерело
@did: Нехай $ g (x) = x ^ 2 + x $, то $ f (x) = g (x-0.5) + 0.5 $, оскільки $ (x-0.5) ^ 2 + (x-0.5) +0.5 = (x ^ 2-2 * 0.5x + 0.25) + (x-0.5) +0.5 = x ^ 2 + 0.25 $. Функція $ g (x) $ тепер не має постійного члена і лінійного члена, з яких ми можемо отримати квадратний корінь. Це дозволяє представити ряди сил для напівповторення $ g (x) $, назвемо це $ d (x) $ з $ d (d (x)) = g (x) $, тоді $ h (x) = d (x-0.5) + 0.5 $, нам потрібно більше міркувань, наприклад, як оцінювати ряди $ d (x) $, які можуть мати радіус збіжності нуль ... але ми можемо отримати наближення ...
додано Автор Hobo, джерело
@did: не впевнений, я розумію намір вашого питання. а) послідовність $ d_n $ можна однозначно визначити шляхом вирішення кінцевих лінійних рівнянь до раціональних значень. б) припускаю, що радіус збіжності для ряду потужностей $ d (x) $ дорівнює нулю. Те, що робить мене впевненим, що метод дає значущі значення, полягає в тому, що обчислення $ x_1 = d (x_0) $ і $ x_2 = d (x_1) $ наближається до $ g (x_0) $, а наближення може бути покращено шляхом розширення потужності d до більшої кількості термінів і допомоги нефракційних ітерацій. Однак, це не є доказом того, щоб рішення було точним ...
додано Автор Hobo, джерело
Чи намагалися ви порівняти напівповторення $ x ^ 2 $, коли ви вирішуєте дві версії регулярної ітерації за двома фіксованими точками (0 і 1) тієї самої функції? Я підозрюю, що ми будемо "хитатися" навіть між тим, що методи півтеркації тієї ж функції ...
додано Автор Hobo, джерело
Хм, можливо, це дуже схоже на формулу зміни бази. Після читання знову Shel сказав сходиться теж, не IS. Можливо, я зрозумію, коли-небудь.
додано Автор aldrinleal, джерело
Я єдиний, хто не розуміє і не вірить Шелдону? :) Може допомогти мені картинка.
додано Автор aldrinleal, джерело
@ SheldonL: Я не думаю, що нам потрібно перетинати нескінченну кількість разів для $ c $, достатньо великих, а половина-ітерація не надто "хитка". Я думаю, що це еквівалентно теті, яка не діє так, як ви думаєте.
додано Автор aldrinleal, джерело
Я не впевнений, що ви намагаєтеся сказати мені. Я дотримуюся того, що я сказав, і мені цікаво, якщо ви мене зрозуміли ... натяк: я процитував вашу останню частину вашої ОП.
додано Автор aldrinleal, джерело
Ім жаль, Шелдон, але я не згоден: цитата: Як реальні збільшується z, якщо θ сходиться до 1 -циклічної функції, на відміну від константи, то є лічильник прикладів, як я дав, Якщо θ веде себе як sin (x) + 10000 тоді ви не отримуєте контрприклади. Якщо він починає поводитися як sin (x) + 10000 у межі для великих x, ви можете мати не більше кінцевої кількості кросоверів. Можна стверджувати, що гріх (x) + 10000 не є можливістю і такою, але основне твердження - неправильне і неправильне твердження призводить до помилок. Я боюся, що ви зробили це неправильне тлумачення і в минулому, без образи.
додано Автор aldrinleal, джерело
@ SheldonL, здається, документ Кнессера не довгий. Я цього не бачив.
додано Автор A.D., джерело
@ SheldonL, у питанні складних фіксованих точок, немає ніяких змін в основних процедурах, як у використанні рівняння Шредерса або Абеля. Погана новина полягає в тому, що потрібно ще знайти, наприклад, $ alpha ^ {- 1} ліву (frac {1} {2} + альфа (z))), $, яка тепер стає гіршим пошуком якщо $ z в математиці R. $ Це може бути зроблено на комп'ютері, ми просто не можемо спробувати складний метод Ньютона, тому що ми не маємо закритої форми для $ alpha.
додано Автор A.D., джерело
@GottfriedHelms Напевно, ми всі можемо погодитися на ваш a). З огляду на ваш b) (ви дійсно маєте на увазі радіус нуль , чи не так?), Мені цікаво, що слово "обчислення $ x_1 = d (x_0) $" стосується. Як можна обчислити d (x) для будь-якого заданого (ненульового) x, коли все одно має функції d_n, можливо для великих значень n, але з послідовністю (d_n (x)) _ n розходяться для кожного ненульового x (якщо я вас правильно зрозумів)?
додано Автор varjag, джерело
@sheldonison Не впевнений, що я розумію ваш коментар. Зокрема, що мене турбує те, що ви, здається, вважаєте, що можете обчислити за бажанням значення d. Як би це зробити, навіть приблизно, мені не зрозуміло через проблему нульового радіусу, з якою я почав, і яку Готтфрід визнав.
додано Автор varjag, джерело
Вибачте, що перериваєте цю розмову, але коли $ f: x дорівнює x ^ 2 + frac14 $, як ви визначите функцію $ h $?
додано Автор varjag, джерело
Право, $ f $ і $ g $ є сполученими, отже, розв'язуючи $ d г d = g $ і розв'язуючи $ h \ t Тепер існує унікальна послідовність $ (a_n) _ {n geqslant2} $ така, що для кожного $ n geqslant2 $ $ d_n (x) = x + a_2x ^ 2 + що $ d_n є d_n (x) = x + x ^ 2 + o (x ^ {n + 1}) $ при $ x \ t Але, як ви говорите, цього може бути недостатньо для визначення функції $ d $ ... Що ви думаєте, що процедура працює в цьому конкретному випадку, наприклад, в тому сенсі, що $ (d_n) _ {n \ t сходиться точково?
додано Автор varjag, джерело
@sheldonison І, будь ласка, використовуйте річ @, щоб повідомити ваші коментарі.
додано Автор varjag, джерело
@sheldonison Як ви перейшли до генерування суперфункції $ f (x) = x ^ 2 + 0.25 $? Зверніть увагу, що суперфункції згадуються у вашому повідомленні, але тільки після того, як ви оголосите, що визначили та маніпулювали $ h $.
додано Автор varjag, джерело
Примітка: мій останній коментар стосується тепер-зниклого коментаря @sheldonison.
додано Автор varjag, джерело
@GottfriedHelms Які суми Noerlund? Їх багато ... І на цьому етапі раптом починає замислюватися, чи можуть ваші результати (і Шелдон) бути залежними від методу відновлення (і навіть залежними від деталей). Але, можливо, у вас є підстави вважати, що значення, які ви виробляєте, є внутрішнім , зрештою (що цікавіше, ніж розумний/дійсний ). Дякуємо за пояснення в будь-якому випадку.
додано Автор varjag, джерело
@WillJagy, я зацікавлений у реальних цінних $ alpha $ і $ alpha ^ {1} $ для $ x ^ 2 + c $, де c> 0.25. Це було б аналогічно розв'язку Кнесера для тетрації для $ exp (z) $, де $ exp (z) $ має складні фіксовані точки, але бажане рішення тетрації реально оцінено.
додано Автор Sheldon L, джерело
Гей Готфрід, дякую за ваші коментарі
додано Автор Sheldon L, джерело
Гей Готфрід, дякую за ваші коментарі. Я розмістив це через посилання на пост Міка про дробові ітерації для експонентів, які показують деякі з тих же характеристик. Я зрозумів, що подібна проблема для ітерацій x ^ 2 + c була набагато простішою. На мій подив, часткові ітерації x ^ 2 + c показують одні й ті ж поведінки, з різними значеннями "c", що мають як більші, так і менші дробові ітерації, залежно від значення x. Ітерації x ^ + c вивчені набагато більше, ніж тетрація, тому відповідний матеріал повинен бути опублікований десь ...
додано Автор Sheldon L, джерело
x ^ 2 показує подвійне експоненціальне зростання від відштовхуючої фіксованої точки 1. Я не знаю, як отримати подвійне експоненціальне зростання від притягуючої нерухомої точки нуля. До речі, я мав друкарську помилку в моєму початковому розрахунку. Я також фактично розрахував половину ітерації x ^ 2 + x, для x = 800000000, замість половини ітерації x ^ 2 + 0.25. Для перемикання між двома еквівалентними функціями ви наполовину додаєте або віднімаєте 1/2.
додано Автор Sheldon L, джерело
Зроблено, параболічна фіксована точка x ^ 2 + 0,25 дорівнює 0,5, тому суперфункція добре визначена і ціла і дає точні результати для поліноміальної інтерполяції для послідовності значень трохи більше 0,5. Я інтерполював 25 точок по обидві сторони від 0,512 для 51 точки інтерполяції. Це точно до 67 десяткових цифр, що є точністю, яку я використовував у pari-gp. Потім я повторюю f зворотний z = 800000000, поки значення не дорівнює 0,512, обчислює інверсію суперфункції, додає 1/2 і потім обчислює суперфункцію. Потім ітерація f, щоб генерувати половину ітерації z.
додано Автор Sheldon L, джерело
@did Половина ітерації серії Тейлора добре визначена для всіх реальних значень, крім самої фіксованої точки. Це відбувається тому, що існують дві різні суперфункції, одна швидко зростаюча функція для реальних значень> нерухома точка, яку ми зацікавлені, і інша для реальних значень <�фіксованої точки. Обидва разом призводять до нульового радіусу збіжності, якщо ви генеруєте ряди Тейлора на самій нерухомій точці. Суперфункція для реальних значень, що перевищують відштовхуючу нерухому точку, є цілою, і наближається до фіксованої точки-1/x, оскільки x стає все більш негативною, хоча параболічний випадок складний.
додано Автор Sheldon L, джерело
@mick, Можливо, картина допоможе. $ alfa ^ {- 1} (z + k)/2 ^ {2 ^ z} $ k вибрано для отримання приблизно 50% робочого циклу.
додано Автор Sheldon L, джерело
@mick, Звучить, як ви говорите про загальний випадок, то ми також повинні вимагати, щоб дві функції зростали, і що тета є безперервною. Вона зводиться до $ f (z + k + eta (z))/f (z) $, де f - зростаюча суперфункція, а k - константа, рівна середньому значенню $ eta (z) $. Сподіваюся, що це допоможе.
додано Автор Sheldon L, джерело
@mick, я думаю, що призначений "лічильник приклад" буде $ ата = sin (2 pi x)/2 pi + 10000 $, тому що обмеження поведінки theta є 1-циклічним, але це не суперечливий випадок, якщо встановити k = -10000, щоб відповідним чином виділити функції. Розглянемо дві нескінченно пересічні функції, $ f (x-10000) $ vs $ f (x + eta (x)) $. Можливо, Мік скаржиться на мою неточну мову, або на відсутність деталей в оригінальному повідомленні про те, як вирівняти дві функції так, щоб вони перетиналися нескінченну кількість разів ...
додано Автор Sheldon L, джерело
Розглянемо $ g (x) = x ^ 2 + c $, з c позитивним, довільно великим, з функцією абеля, $ alpha (x) $. Розглянемо альтернативну функцію абеля, визначену точно так: $ alpha ^ {- 1} _ infty (x) = lіm {n nfty} g ^ {- 1 on} (2 ^ {2 ^ x}) $ . Тоді $ alpha (x) $ визначається і реально оцінюється, якщо x> = 0. Також, за визначенням, $ alpha_ infty (g (x)) = alpha_ infty (x) + 1 $, так це альтернативна функція abel. Для отримання $ ata $ порівнюють дві функції абеля для c. $ ата (х) = альфа (альфа ^ {- 1} _ інверсія (х)) - х $. Або $ eta (x) $ є постійною, або вона є 1-циклічною і 2 ^ 2 ^ x і $ альфа ^ {- 1} (x) $ перетинаються нескінченно часто.
додано Автор Sheldon L, джерело

10 Відповіді

Це може бути корисним.

Let $$ f(x) = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}, \; \; x > 0 $$ We use a technique of Ecalle to solve for the Fatou coordinate $\alpha$ that solves $$ \alpha(f(x)) = \alpha(x) + 1. $$ For any $x > 0,$ let $x_0 = x, \; x_1 = f(x), \; x_2 = f(f(x)), \; x_{n+1} = f(x_n).$ Then we get the exact $$ \alpha(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_n} - \log x_n + \frac{x_n}{2} - \frac{x_n^2}{3} + \frac{13 x_n^3}{36} - \frac{113 x_n^4}{ 240} + \frac{1187 x_n^5}{ 1800} - \frac{877 x_n^6}{ 945} - n. $$ The point is that this expression converges far more rapidly than one would expect, and we may stop at a fairly small $n.$ It is fast enough that we may reasonably expect to solve numerically for $\alpha^{-1}(x).$

Ми маємо $$ f ^ {- 1} (x) = x + x ^ 2. Примітка $$ alpha (x) = альфа (f ^ {- 1} (x)) + 1, $$ $$ alpha (x) - 1 = альфа (f ^ {- 1} (x)), $$ $$ alpha ^ {- 1} ліворуч (альфа (x) - 1 праворуч) = f ^ {- 1} (x). $$ Звідси випливає, що якщо ми визначимо $$ g (x) = альфа ^ {- 1} ліворуч (alpha (x) - frac {1} {2} праворуч), $$ ми отримуємо чудесне $$ g (g (x)) = альфа ^ {- 1} ліворуч (альфа (x) - 1 праворуч) = f ^ {- 1} (x) = x + x ^ 2. $$

На BAKER я розміщую чимало відповідних PDF-файлів. Хост-комп'ютер для цього був знижений близько року, але нещодавно був відремонтований.

РЕДАГУВАТИ, ТУРЗ:

Зауважимо, що $ alfa $ фактично є голоморфним у відкритому секторі, який не включає початок, наприклад, позитивну реальну частину. Тобто перфорація тут, $ alpha $ не може бути розширена навколо походження як однозначна голоморфна. Отже, оскільки ми знаходимо енергетичні ряди навколо $ 0, $ $ не тільки термін $ 1/z $, який не був би таким поганим, але існує також термін $ log z $. Таким чином, бізнес $ ldots -n $ має вирішальне значення.

Я надаю повний робочий приклад на моєму запитанні -серії-конвергенція як моя відповідь. -convergence/46765 # 46765

Техніка Ecalle описана англійською мовою у книзі, див. BAKER і натисніть K_C_G_book_excerpts.pdf Рівняння Юлії Теореми 8.5.1 346 ККГ. Не було б проблемою виробляти, скажімо, 50 термінів $ alpha (x) $ з деякою іншою системою комп'ютерної алгебри, що дозволяє більш довгим силовим рядам і достатньою програмою, щоб знайти правильні коефіцієнти, які я робив по одному, можна автоматизувати. Незважаючи ні на що, ви завжди отримуєте $ alpha = mbox {stuff} - n $, коли $ f leq x.

Як я вже говорив у коментарі, спосіб поліпшення цього полягає в тому, щоб взяти кілька десятків термінів розширення $ alpha (x) $, щоб отримати бажану десяткову точність з більш розумною кількістю оцінок $ f (x) $ Так, ось коротка версія сесії GP-PARI, яка створила $ alpha (x): $

=======

    ? taylor( (-1 + sqrt(1 + 4 * x))/2  , x  )
    %1 = x - x^2 + 2*x^3 - 5*x^4 + 14*x^5 - 42*x^6 + 132*x^7 - 429*x^8 + 1430*x^9 - 4862*x^10 + 16796*x^11 - 58786*x^12 + 208012*x^13 - 742900*x^14 + 2674440*x^15 + O(x^16) 

    f = x - x^2 + 2*x^3 - 5*x^4 + 14*x^5 - 42*x^6 + 132*x^7 - 429*x^8 + 1430*x^9 - 4862*x^10 + 16796*x^11 - 58786*x^12 + 208012*x^13 - 742900*x^14 + 2674440*x^15  

    ? fp = deriv(f) 
    %3 = 40116600*x^14 - 10400600*x^13 + 2704156*x^12 - 705432*x^11 + 184756*x^10 - 48620*x^9 + 12870*x^8 - 3432*x^7 + 924*x^6 - 252*x^5 + 70*x^4 - 20*x^3 + 6*x^2 - 2*x + 1 

    L = - f^2 + a * f^3 

    R = - x^2 + a * x^3

    compare = L - fp * R 

    19129277941464384000*a*x^45 - 15941064951220320000*a*x^44 +
 8891571783902889600*a*x^43 - 4151151429711140800*a*x^42 + 
1752764158206050880*a*x^41 - 694541260905326880*a*x^40 + 
263750697873178528*a*x^39 - 97281246609064752*a*x^38 + 35183136631942128*a*x^37 
- 12571609170862072*a*x^36 + 4469001402841488*a*x^35 - 1592851713897816*a*x^34 + 
575848308018344*a*x^33 - 216669955210116*a*x^32 + 96991182256584*a*x^31 + 
(-37103739145436*a - 7152629313600)*x^30 + (13153650384828*a + 
3973682952000)*x^29 + (-4464728141142*a - 1664531636560)*x^28 + (1475471500748*a 
+ 623503489280)*x^27 + (-479514623058*a - 220453019424)*x^26 + (154294360974*a + 
75418138224)*x^25 + (-49409606805*a - 25316190900)*x^24 + (15816469500*a + 
8416811520)*x^23 + (-5083280370*a - 2792115360)*x^22 + (1648523850*a + 
930705120)*x^21 + (-543121425*a - 314317080)*x^20 + (183751830*a + 
108854400)*x^19 + (-65202585*a - 39539760)*x^18 + (-14453775*a + 15967980)*x^17 
+ (3380195*a + 30421755)*x^16 + (-772616*a - 7726160)*x^15 + (170544*a + 
1961256)*x^14 + (-35530*a - 497420)*x^13 + (6630*a + 125970)*x^12 + (-936*a - 
31824)*x^11 + 8008*x^10 + (77*a - 2002)*x^9 + (-45*a + 495)*x^8 + (20*a - 
120)*x^7 + (-8*a + 28)*x^6 + (3*a - 6)*x^5 + (-a + 1)*x^4 

    Therefore a = 1  !!! 

    ? 
    L = - f^2 +  f^3 + a * f^4

    R = - x^2 +  x^3 + a * x^4 

    compare = L - fp * R 
     ....+ (1078*a + 8008)*x^10 + (-320*a - 1925)*x^9 + (95*a + 450)*x^8 + (-28*a - 100)*x^7 + (8*a + 20)*x^6 + (-2*a - 3)*x^5 

    This time a = -3/2  !


    L = - f^2 +  f^3  - 3 * f^4/2  + c * f^5 

    R = - x^2 +  x^3 - 3 * x^4/2  + c * x^5  

     compare = L - fp * R
    ...+ (2716*c - 27300)*x^11 + (-749*c + 6391)*x^10 + (205*c - 1445)*x^9 + (-55*c + 615/2)*x^8 + (14*c - 58)*x^7 + (-3*c + 8)*x^6 


    So c = 8/3 . 

    The printouts began to get too long, so I said no using semicolons, and requested coefficients one at a time..

    L = - f^2 +  f^3  - 3 * f^4/2  + 8 * f^5/3 + a * f^6; 

    R = - x^2 +  x^3 - 3 * x^4/2  + 8 * x^5/3  + a * x^6; 

       compare = L - fp * R;

    ? polcoeff(compare,5)
    %22 = 0
    ? 
    ?  polcoeff(compare,6)
    %23 = 0
    ? 
    ?  polcoeff(compare,7)
    %24 = -4*a - 62/3

    So this a = -31/6 


    I ran out of energy about here:
      L = - f^2 +  f^3  - 3 * f^4/2  + 8 * f^5/3 - 31 * f^6/6 + 157 * f^7/15 - 649 * f^8/30 + 9427 * f^9/210 + b * f^10 ; 

      R = - x^2 +  x^3 - 3 * x^4/2  + 8 * x^5/3  - 31 * x^6/6 + 157 * x^7/15 - 649 * x^8/30 + 9427 * x^9/210  + b * x^10;

       compare = L - fp * R; 
    ? 
    ?  polcoeff(compare, 10 )
    %56 = 0
    ? 
    ? 
    ?  polcoeff(compare, 11 ) 
    %57 = -8*b - 77692/105
    ? 
    ? 
      L = - f^2 +  f^3  - 3 * f^4/2  + 8 * f^5/3 - 31 * f^6/6 + 157 * f^7/15 - 649 * f^8/30 + 9427 * f^9/210 - 19423 * f^10/210 ; 

      R = - x^2 +  x^3 - 3 * x^4/2  + 8 * x^5/3  - 31 * x^6/6 + 157 * x^7/15 - 649 * x^8/30 + 9427 * x^9/210 - 19423 * x^10/210;

       compare = L - fp * R; 
    ?  polcoeff(compare, 10 )
    %61 = 0
    ? 
    ?  polcoeff(compare, 11 ) 
    %62 = 0
    ? 
    ?  polcoeff(compare, 12) 
    %63 = 59184/35
    ? 

    So R = 1/alpha' solves the Julia equation   R(f(x)) = f'(x) R(x).

    Reciprocal is alpha'

    ? S =   taylor( 1/R, x)
    %65 = -x^-2 - x^-1 + 1/2 - 2/3*x + 13/12*x^2 - 113/60*x^3 + 1187/360*x^4 - 1754/315*x^5 + 14569/1680*x^6 + 532963/3024*x^7 + 1819157/151200*x^8 - 70379/4725*x^9 + 10093847/129600*x^10 - 222131137/907200*x^11 + 8110731527/12700800*x^12 - 8882574457/5953500*x^13 + 24791394983/7776000*x^14 - 113022877691/18144000*x^15 + O(x^16) 

    The bad news is that Pari refuses to integrate 1/x, 
even when I took out that term it put it all on a common denominator,
 so i integrated one term at a time to get

alpha = integral(S)

and i had to type in the terms myself, especially the log(x)

    ? alpha = 1/x - log(x) + x/2 - x^2/3 + 13 * x^3/36 - 113 * x^4/240 + 1187 * x^5/1800 - 877 * x^6/945 + 14569 * x^7/11760 + 532963 * x^8/24192 

======

10
додано
Я тільки що знайшов, що частина знахідки Абеля-функції $ лямбда (f (x)) = лямбда (x) cdot f '(x) $ може бути виражена як власна задача/власна задача; не знаю, чи є це цікавим тут (або, можливо, очевидним/тривіальним).
додано Автор Hobo, джерело
Буде, я зробив процедуру автоматичного отримання коефіцієнтів у вікні відповіді.
додано Автор Hobo, джерело
Дуже добре! Якщо я можу зрозуміти лише французьку мову для читання Ecalle ...
додано Автор Hobo, джерело
Я повторюю своє запитання: враховуючи цю межу Ecalle, дану для функції abel, чи може техніка Ecalle давати аналогічну межу для суперфункції?
додано Автор aldrinleal, джерело
Насправді я зацікавився лише першим обмеженням відповіді Вілла. Як ви знайшли, що це буде?
додано Автор aldrinleal, джерело
Але як ви знаєте радіус Юлії?
додано Автор aldrinleal, джерело
Але що заважає існуванню подібного обмеження для надфункції? Добре, можливо, нам потрібен зовсім інший метод. Чому нахиляє існує аналогічний спосіб знайти подібний шукає межа для fixpoint з похідною> 1?
додано Автор aldrinleal, джерело
Подивіться, я просто хочу, щоб уникнути використання зворотної функції, і маю обмеження, що дозволяє уникнути зворотного, подібного до даного тут. І Шродер не враховує.
додано Автор aldrinleal, джерело
Розглядаючи цю межу Ecalle, дану для функції абеля, методика Ecalle також здатна давати аналогічну межу для суперфункції?
додано Автор aldrinleal, джерело
@ Sheldon: Я повторюю питання Волі: як ви використовуєте обидві fixpoints ?? А також ви говорите про 2 фіксації і обидва, це 3 функції. Звідки береться 4-й? Звучить цікаво, але ясно, як бруд.
додано Автор aldrinleal, джерело
@mick, похідна більша, ніж одна, добре, ви використовуєте Schroder (правопис?), але використовуючи зворотну функцію. Що стосується інших питань, я не знаю, про що ви говорите.
додано Автор A.D., джерело
@mick, я не знаю, що таке Шелдон і ви маєте на увазі суперфункцію. Що стосується звичайних функцій, то я відчуваю себе досить впевненим, що реальна і аналітична функція на $ mathbb R $ має реальні дрібні ітерації між фіксованими точками, але вони зазвичай не можуть бути розширені (аналітично) через точки фіксації. Якщо немає реальних fixpoints, я підозрюю, що можна отримати реальні аналітичні дробові ітерації по всій лінії, але я в даний час не знаю йти про це. Я додав коментар до відповіді професора Едгара з проханням роз'яснити це питання.
додано Автор A.D., джерело
@ SheldonL, спасибі.
додано Автор A.D., джерело
@GottfriedHelms, Дякую, я не здивувався будь-якою кількістю відносин. Я тільки що знайшов основний папір Ecalle і поставив його на zakuski.utsa.edu/~jagy/other .html . Я повинен визнати, що, здається, мало ознак того, що він написав точний ліміт, коли я його пишу, але він там визначив $ mbox {logit} $. Отже, це велике коло ідей. Однак, врешті-решт, це нагадує простіше використання рівняння Шредера, коли $ | f '(z_0) | <1. $ Чистота, як рівняння Юлії дає нам $ лямбда (x) $, яка ніколи не виражається як формальний сильний ряд.
додано Автор A.D., джерело
@ SheldonL, $ f (x) = x ^ 2 + c $ для $ c> 1/4 $ безумовно має половину ітерації у відкритому сусідстві реальної лінії, використовуючи більш просте рівняння Шредера, Мілнор називає його теоремою лінеаризації Кеніґса (6.1), а потім глобальний висновок (6.4 у препринті 1991 року). Поки що я не бачу адекватних підстав вважати, що половина повторення реально оцінюється вздовж реальної лінії, але, можливо, є якийсь трюк. Є одна така половина ітерації для кожної фіксованої точки, якщо дві версії узгоджуються з реальною лінією, яка б це зробила.
додано Автор A.D., джерело
@mick, це було близько двох років, тому мені довелося дивитися трохи. існування і єдиність $ alfa $ до адитивної константи на секторі - це теорема квітки Леу-Фату і теорема параболічної лінеаризації, стор. книги Олександра, потім докази Фату. Дуже специфічна конструкція, що стосується рівняння Абеля до рівняння Юлії на секторі, обумовлена ​​Ecalle і не може бути в жодній книзі. Але багато чого з цього принаймні згадується в КЦГ.
додано Автор A.D., джерело
@ SheldonL, так як ви робите версію з обох фіксованих точок, як ви знаєте, що це реально вздовж реальної лінії і аналітичної, і так далі?
додано Автор A.D., джерело
@mick, я зрозумію, що ви просите. Рішенням рівняння Юлі є $ 1/alpha ', $ це визначається у відкритому секторі, що залишає (але не включає) походження, можливо, з вигнутими краями. У цьому випадку сектор буде включати позитивну реальну вісь, оскільки основна умова - $ x_n rightrow $ 0. Якщо ви хочете надіслати мені електронний лист, це також добре, натисніть на моє ім'я, щоб дізнатися, як знайти адреси електронної пошти.
додано Автор A.D., джерело
@mick, я даю досить повний підручник з Рівняння Юлії є теоремою 8.5.1 на сторінці 346 KCG. Витяги з цієї книги та багато інших PDF-файлів на сторінці zakuski.utsa.edu/ Тим часом ітерація $ x + x ^ 2 $ не збігається, нам потрібно перейти до зворотної функції $ (- 1 + sqrt {1 + 4x})/2 $, щоб отримати $ x_n \ t $
додано Автор A.D., джерело
@ SheldonL, між тим, мені потрібно йти повернути деякі книги, чи не могли б ви надіслати мені листа? Просто натисніть назву для деяких інструкцій або виконайте пошук за прізвищем на ams.org/cml
додано Автор A.D., джерело
@mick, ні, тобто для сусідства з фіксованою точкою, таке, що похідна функції у фіксованій точці дорівнює $ 1. $ Якщо абсолютна величина похідної не дорівнює $ 1, $ ми використовуємо більш легке рівняння Шредера. , на функції або її зворотній. Без фіксованих точок у вашому наборі (тут справжня лінія) єдиною технікою, яку я знаю, є Гельмут Кнезер, батько Мартіна. Він зробив половину ітерації для $ e ^ z $ на відкритому сусідстві реальної лінії. Ви не бачите реальних фіксованих точок.
додано Автор A.D., джерело
Між тим історична книга Д. С. Олександра дуже хороша.
додано Автор A.D., джерело
@sheldonison, KCG доступна як нова обкладинка cambridge.org/us/знання/isbn/item1120001 /? site_locale = en_ & zwnj; США за 120 або використані (тверді) близько 85 з доставкою, abebooks.com/servlet/… Ви маєте на увазі книгу Гамеліна.
додано Автор A.D., джерело
@GottfriedHelms і sheldonison, я даю повний опис методу на mathoverflow.net/questions/45608/… як розроблений приклад. Лікування, яке потребує 100000 ітерацій, має мати, скажімо, два десятки термінів розширення для $ alpha $
додано Автор A.D., джерело
Буде, я ціную вашу відповідь! Я використав вашу функцію $ alpha $ abel для x ^ 2 + x, щоб генерувати ідентичні результати до того, що я опублікував за половину ітерації 800,000,000, починаючи з 799 999 999,5 і повторюючи f (x), поки x не був дуже близький до нуля. Здавалося, що це вимагало 100000 ітерацій f, щоб отримати достатньо близькі до фіксованої точки нуля, так що результат $ alpha ^ {- 1} (альфа (x) -1/2) $ мав 13 десяткових цифр точності, яка відповідала половині ітерації $ 3898248180100, яку я відправив раніше.
додано Автор Sheldon L, джерело
@WillJagy Я хотів довго розуміти теорію параболічних ітерацій; Я купив книгу Мілнера і книгу Гамеліна. Як ви можете бачити, я вигадав його досить добре, щоб отримати точні результати, використовуючи поліноміальну інтерполяцію. Дякую! Отже, це охоплює $ x ^ 2 + x $. А рішення для $ x ^ 2 + x-0.25 $ є тривіальним, оскільки це аналог ітерацій $ x ^ 2 $. Чи знаєте ви будь-які посилання для $ f (x) = x ^ 2 + x + c $, де c> 0, який має складні фіксовані точки? Крім того, початкове питання стосувалося половини ітерацій $ x ^ 2 $, іноді малих, ніж половина ітерацій $ x ^ 2 + 0.25 $. Ще раз спасибі, - Шелдон
додано Автор Sheldon L, джерело
Суперфункція є розмовним членом для зворотної функції абеля, $ alpha ^ {- 1} (x) $, або $ f ^ {ox} (k) $, де k є дещо довільним значенням, більше 0 і більше, ніж інша нерухома нерухома точка f, якщо c <0.25, для $ f (x) = x ^ 2 + c $.
додано Автор Sheldon L, джерело
@WillJagy, якщо є складні фіксовані точки, для c> 0.25, то $ alpha ^ {- 1} $ може бути визначено і реально оцінено на реальній осі, але матиме точку гілки для $ alpha (z <0). ) $. Візьмемо для прикладу $ f (x) = x ^ 2 + 1 $. $ f ^ {- 1} = 0 f ^ 0 = 1, f ^ 1 = 2, f ^ 2 = 5, f ^ 3 = 11 $. Але як щодо $ f ^ {- 1} (0.9999) = 0.01i $? Це комплексне число, більше не реальне значення .... Отже, якщо $ alfa ^ {- 1} (0) = 1 $, то більшість може вимагати, щоб вона була аналітичною в комплексній площині, за винятком гілок особливості при негативних цілих числах. Існують деякі інші ідеї унікальності, які ми обговорювали на форумі тетрації, і я вважаю, що Трапманн довів.
додано Автор Sheldon L, джерело
Знову ж таки, використовуючи $ f (x) = x ^ 2 + 1 $. Дві фіксовані точки f дорівнюють $ 0.5 + i sqrt {3/4} $ і $ 0.5-i sqrt {3/4} $. Я очікую, що унікальна версія $ alfa ^ {- 1} (z) $ матиме $ lim_ {z з інфіфтом} alfa ^ {- 1} (iz) = 0.5 + i sqrt {3/4 } $, і $ lim_ {z з інтенсивним} альфа ^ {- 1} (- iz) = 0.5-i sqrt {3/4} $.
додано Автор Sheldon L, джерело
@WillJagy Звичайно, дві версії з двох фіксованих точок не погоджуються, але вони є складними сполученими один з одним. Половина ітерації 1 для $ f = x ^ 2 + 1 $ дорівнює $ f ^ {0.5} (1) приблизно 1.40634858 - 0.322908310i $. З іншої фіксованої точки $ 0.5-i sqrt {3/4} $, половина ітерації буде кон'югатом. Існує також половина ітерації від $ f_ infty ^ {0.5} (1), приблизно1.41228535 $. На жаль, всі чотири з них є аналітичними.
додано Автор Sheldon L, джерело
про половину ітерації з обох фіксованих точок, на жаль, все, що я міг зробити, це вказати вам на деякі посади в форумі тетрації, і збіжність чисельного алгоритму я придумав не доведено. Це може бути еквівалентом збурених координат, але я не можу зрозуміти документи на цю тему. Що я можу зробити, це генерувати числові ряди Тейлора для $ alpha ^ {- 1} $ з обох фіксованих точок, до довільної точності. По центру в будь-якій точці реальної осі. з центром в $ альфа ^ {- 1} (0) = 0 $, ряд Тейлора має радіус збіжності 1, обумовлений особливістю гілки.
додано Автор Sheldon L, джерело
@WillJagy, ось короткий опис високого рівня рішення з обох фіксованих точок. Час обмежений сьогодні і завтра. Алгоритм ґрунтується на рішенні Кнезера, яке вимагає відображення Рімана для функції з особливістю, і її важко обчислити чисельно. Алгоритм, який я придумав, припускаючи, що він збігається, можна показати, що він буде дорівнювати рішенню Кнесера, який я вважаю доведеним. Я напишу опис, пристосоване до x ^ 2 + c. Обмежувальна поведінка $ alfa ^ {- 1} $ як $ Re (z) до - інтенсивних $ і $ Im (z)> 0 $ сходиться до однієї фіксованої точки, а якщо $ \ t <0 $, інший.
додано Автор Sheldon L, джерело

a plug

For some material on fractional iterates of $x^2+c$ see the last section of...
"Fractional Iteration of Series and Transseries" by G. A. Edgar ... LINK
To appear in Trans. Amer. Math. Soc.

3
додано
розділ 6 "Приклад Юлії", pdf-сторінки 23-26. Чи знаєте Ви два основних питання ОП (A): чи $ x ^ 2 + c $ мають реальну аналітичну половину для $ c> 1/4, $ і (B), якщо $ c_1
додано Автор A.D., джерело
Розглянемо $ g (x) = x ^ 2-2 $, тоді наступне обмеження, адаптоване з мого повідомлення вище, повинно бути досить простим. $ alpha ^ {- 1} _ інверсійний (z) = lim_ {n з інтенсивним} g ^ {- 1 на} (2 ^ {2 ^ {z + n}}) = 2 cosh (2) ^ {z + k}) $. Це те ж саме, що і зі сторінки 23 для c = -2. Таке ж граничне рівняння для c = 0.25, $ g (x) = x ^ 2 + frac {1} {4} $, дає інший $ alpha ^ {- 1} $ зворотний абелевий функціонний розчин, ніж параболічний розчин. Межа повинна працювати і для інших значень c. Межа збігається до тих пір, поки | 2 ^ 2 ^ (z + n) | зростає як завгодно велика в складній площині.
додано Автор Sheldon L, джерело
Я подивився на два приклади на сторінці 23. Дробові ітерації x ^ 2 є аналогічними , якщо вони генеруються з $ infty $ і коли генеруються з фіксованої точки x = 1. Можливо, дробові ітерації $ x ^ 2-2 $ є також такими ж, коли генеруються з $ infty $ і коли генеруються з фіксованої точки x = 2; принаймні так видається. Дробові ітерації $ x ^ 2 + frac {1} {4} $ є не такими ж, коли згенеровані з $ infty $ і коли генеруються з параболічної фіксованої точки x = 0.5. Крім того, спасибі за pdf, багато чому навчитися .....
додано Автор Sheldon L, джерело
Через розділ 6 стор. 23: "Для інших значень c відома закрита форма, і, ймовірно, немає жодного"
додано Автор randompast, джерело

RemaRk: thiS iS not an anSweR but only a woRk-out baSed on Will'S PaRi/GP pRotocol

\\ PaRi/GP-code
\pS 64      \\ define tayloR-SeRieS-extenSion Sufficiently high
f= tayloR( (-1 + SqRt(1 + 4 * x))/2  , x  )
 \\  Should be: x - x^2 + 2*x^3 - 5*x^4 + 14*x^5 - 42*x^6 + ...
fp = deRiv(f) 
  \\ Should be: 1 - 2*x + 6*x^2 - 20*x^3 + 70*x^4 - 252*x^5 + ...


liStf = vectoRv(24);  \\ pRovide the RequiRed poweRS of f befoRehand aS conStantS
    liStf[1]=f;
    foR(k=2,#liStf,liStf[k] = liStf[k-1]*f )
liStx = vectoRv(#liStf,R,x^R) \\ that liSt foR poweRS of x iS not Really needed
valpha = vectoRv(#liStf); \\ Shall get the Sought coefficentS
    valpha[1]=0; valpha[2]=-1  \\ known conStantS at the beginning

{foR(j=2,#liStf-1,
    L = Sum(k=2,j,va[k]*liStf[k]) + 'a*liStf[j+1];
    R = Sum(k=2,j,va[k]*liStx[k]) + 'a*liStx[j+1];
    CompaRe = L-fp*R;
    coefx = polcoeff(CompaRe,j+2);pRint(coefx);
    ac=-polcoeff(coefx,0)/polcoeff(coefx,1);
    valpha[j+1]=ac;
  );}  

Тепер перевірте це:

valpha \\ diSplay coefficientS

/* Should be:
  [0, -1, 1, -3/2, 8/3, -31/6, 157/15, -649/30, 9427/210, -19423/210,  
   6576/35, -2627/7, 853627/1155, -2007055/1386, 3682190/1287, -29646689/5148, 
   212029715/18018, -1077705008/45045, 3291567542/69615, -4216011601/46410,   
   1728974695307/9699690, -3696738921829/9699690, 12315245049166/14549535,   
  -8505662174957/5290740]~
*/      

alpha=SeR(valpha)
/* comeS out to be: 
   -x + x^2 - 3/2*x^3 + 8/3*x^4 - 31/6*x^5 + 157/15*x^6 - 649/30*x^7 +     
   9427/210*x^8 - 19423/210*x^9 + 6576/35*x^10 - 2627/7*x^11 + 853627/1155*x^12
   + O(x^13) 
  */

Тим не менш, я не ловив його, як далі ...


Ok, I got it now woRking. Only I had to do one "magic Step", indicated by (**) in the comment; ( I miSSed one link fRom that coefficientS by Will'S above pRoceduRe to aRRive at R and S).
Now aS it iS woRking, it iS Really miRaculouS... ;-)
\\ I found heuRiStically examining youR document, that it muSt be
ReSult = intfoRmal( 1/( x*alpha ) + 1/x ) \\ (**)  
       \\ the +1/x in the expReSSionS allowS "foRmal integRation" foR PaRi/GP

coeffS_abel=Vec(ReSult)    \\ put the ReSult into a coefficientSvectoR
#coeffS_abel \\ = 63 in my example
\\ getting :  [1, 0, 1/2, -1/3, 13/36, -113/240] foR x^-1,x^0,x^1,...  



\\ youR example-function f(x)
myf(x,h=0)=foR(k=1,h,x=(-1+SqRt(1+4*x))/2);x

 \\ then the Abel-function alpha(x) aS given in the beginning of youR example
{fAbel(x,n=0)=local(xn);  xn = myf(x,n);  \\ heRe n -> infty, but n~20 SufficeS
   Sum(k=-1,#coeffS_abel-2,coeffS_abel[2+k]*xn^k) - log(xn) - n }

Тепер перевірте функції:

\\ teSting:

maxn=20  \\ tRy Some Sufficient n (=maxn) foR the Abel-function
x0  = 0.125
x12 = myf(x0,12)     \\ x12=0.0521939337419 iS 12 iteRationS fRom x0

a0=fAbel(x0  , maxn)     \\    =10.1373406515
a1=fAbel(x12 , maxn)     \\    =22.1373406515
a1-a0       \\ comeS out to be =12.0000000000

\\ how to find the 0.5-iteRate fRom x0=0.25 (with a0=Abel(x0))
x_05=Solve(x=0.01,x0-0.001, (fAbel(x,maxn)-a0) -1/2)
\\ comeS out to be 0.118366472264
\\check
a0 - fAbel(x_05,maxn)  \\ comeS out to be -0.5
(a0 - fAbel(x_05,maxn)) - (-1/2) 
     \\ < 5e-201 uSing inteRnal float pReciSion of 200 digitS

@Will: Could you make the miSSing Step viSible in youR pRotocol; my move in the integRal-expReSSion uSing $x*alpha$ waS Simply a heuRiStic.

Data of the expeRiment:

x_0 - the initial value
x_1 - the coRRect value by one integeR iteRation uSing the oRiginal foRmula
abel_x_05 - "half-iteRate" uSing the Abel-mechaniSm
abel_x_10 - "unit-iteRate" by applying "half-iteRation" to the abel_x_05
Should equal the oRiginal x_1
h - the "height" of iteRation = 0.5, thuS: "half-iteRate"
a0 - the Abel-function-value of x_0
a05 - the Abel function-value of the half-iteRate x_05
a05-a0-1/2 - the diffeRence between the abel-valueS Should be 1/2. ThiS iS the eRRoR
x_1-abel_x_10 - if the diffeRence iS zeRo, then the Abel-function iS exact. ThiS iS the eRRoR

The table:

    x_0                  x_1             abel_x_05        abel_x_1       h     a_0             a_05            a05-a0-1/2            x_1-abel_x_1
  0.0100000000000  0.00990195135928  0.00995073533545  0.00990195135928  1/2  104.610137209  105.110137209   1.11696228987E-201  -2.85779229102E-97
  0.0200000000000   0.0196152422707   0.0198057704819   0.0196152422707  1/2  53.9218924877  54.4218924877   3.97098709435E-202  -6.15809353856E-82
  0.0300000000000   0.0291502622129   0.0295691127718   0.0291502622129  1/2  36.8546006147  37.3546006147   4.97268862342E-202  -4.06098551075E-74
  0.0400000000000   0.0385164807135   0.0392444803983   0.0385164807135  1/2  28.2383644612  28.7383644612  -3.54446782891E-200  -3.59148072904E-69
  0.0500000000000   0.0477225575052   0.0488353314257   0.0477225575052  1/2  23.0199413289  23.5199413289  -1.92438083583E-202  -1.07323790193E-65
  0.0600000000000   0.0567764362830   0.0583448891277   0.0567764362830  1/2  19.5089497541  20.0089497541   3.82913315022E-200  -4.30261434261E-63
  0.0700000000000   0.0656854249492   0.0677761642099   0.0656854249492  1/2  16.9784545543  17.4784545543   2.30176349353E-200  -4.68144861850E-61
  0.0800000000000   0.0744562646538   0.0771319743721   0.0744562646538  1/2  15.0637628558  15.5637628558    -1.959630265E-200  -2.06820942631E-59
  0.0900000000000   0.0830951894845   0.0864149615923   0.0830951894845  1/2  13.5615925326  14.0615925326              0.E-202  -4.75931307811E-58
   0.100000000000   0.0916079783100   0.0956276074506   0.0916079783100  1/2  12.3495715644  12.8495715644     2.612840354E-200  -6.71587352419E-57
   0.110000000000    0.100000000000    0.104772246757    0.100000000000  1/2  11.3495715644  11.8495715644              0.E-202  -6.49893010190E-56
   0.120000000000    0.108276253030    0.113851079713    0.108276253030  1/2  10.5093372632  11.0093372632    -1.469722699E-200  -4.66951632156E-55
   0.130000000000    0.116441400297    0.122866182786    0.116441400297  1/2  9.79257475074  10.2925747507     -6.53210088E-201  -2.64025433320E-54
   0.140000000000    0.124499799840    0.131819518477    0.124499799840  1/2  9.17327627451  9.67327627451    -1.143117654E-200  -1.22717201784E-53
   0.150000000000    0.132455532034    0.140712944100    0.132455532034  1/2  8.63230833801  9.13230833801     3.266050442E-201  -4.84797799860E-53
   0.160000000000    0.140312423743    0.149548219701    0.140312423743  1/2  8.15527503721  8.65527503721      9.79815132E-201  -1.67081681025E-52
   0.170000000000    0.148074069841    0.158327015221    0.148074069841  1/2  7.73113278533  8.23113278533      8.16512610E-201  -5.12835185230E-52
   0.180000000000    0.155743852430    0.167050916985    0.155743852430  1/2  7.35126498055  7.85126498055      9.79815132E-201  -1.42532084917E-51
   0.190000000000    0.163324958071    0.175721433593    0.163324958071  1/2  7.00884764373  7.50884764373    -1.633025221E-201  -3.63574721484E-51
   0.200000000000    0.170820393250    0.184340001282    0.170820393250  1/2  6.69840449769  7.19840449769     1.469722699E-200  -8.60676914865E-51
   0.210000000000    0.178232998313    0.192907988820    0.178232998313  1/2  6.41548854806  6.91548854806    -1.633025221E-201  -1.90833380748E-50
   0.220000000000    0.185565460040    0.201426701971    0.185565460040  1/2  6.15645005622  6.65645005622      9.79815132E-201  -3.99383229632E-50
   0.230000000000    0.192820323028    0.209897387587    0.192820323028  1/2  5.91826470908  6.41826470908     1.633025221E-201  -7.94107754605E-50
   0.240000000000    0.200000000000    0.218321237354    0.200000000000  1/2  5.69840449769  6.19840449769     4.899075662E-201  -1.50846028308E-49
   0.250000000000    0.207106781187    0.226699391244    0.207106781187  1/2  5.49473939600  5.99473939600      6.53210088E-201  -2.75054364650E-49
   0.260000000000    0.214142842854    0.235032940678    0.214142842854  1/2  5.30546158398  5.80546158398    -1.143117654E-200  -4.83408189236E-49
   0.270000000000    0.221110255093    0.243322931449    0.221110255093  1/2  5.12902639712  5.62902639712    -4.899075662E-201  -8.21796258865E-49
   0.280000000000    0.228010988928    0.251570366421    0.228010988928  1/2  4.96410584104  5.46410584104     2.612840354E-200  -1.35554771981E-48
   0.290000000000    0.234846922835    0.259776208015    0.234846922835  1/2  4.80955165341  5.30955165341     1.633025221E-201  -2.17542886532E-48
   0.300000000000    0.241619848710    0.267941380520    0.241619848710  1/2  4.66436569742  5.16436569742    -1.143117654E-200  -3.40480227973E-48
   0.310000000000    0.248331477355    0.276066772226    0.248331477355  1/2  4.52767604024  5.02767604024    -1.143117654E-200  -5.20802211274E-48
   0.320000000000    0.254983443527    0.284153237414    0.254983443527  1/2  4.39871747998  4.89871747998      6.53210088E-201  -7.80012141557E-48
   0.330000000000    0.261577310586    0.292201598193    0.261577310586  1/2  4.27681558319  4.77681558319     -9.79815132E-201  -1.14578285473E-47
   0.340000000000    0.268114574787    0.300212646221    0.268114574787  1/2  4.16137351452  4.66137351452    -1.143117654E-200  -1.65319303514E-47
   0.350000000000    0.274596669241    0.308187144298    0.274596669241  1/2  4.05186110361  4.55186110361     2.449537831E-200  -2.34609807510E-47
   0.360000000000    0.281024967591    0.316125827860    0.281024967591  1/2  3.94780571723  4.44780571723     3.266050442E-201  -3.27863351540E-47
   0.370000000000    0.287400787401    0.324029406368    0.287400787401  1/2  3.84878459717  4.34878459717              0.E-202  -4.51684740363E-47
   0.380000000000    0.293725393319    0.331898564609    0.293725393319  1/2  3.75441839607  4.25441839607     1.633025221E-201  -6.14045635954E-47
   0.390000000000    0.300000000000    0.339733963915    0.300000000000  1/2  3.66436569742  4.16436569742    -1.633025221E-201  -8.24471876728E-47
   0.400000000000    0.306225774830    0.347536243297    0.306225774830  1/2  3.57831834906  4.07831834906      6.53210088E-201  -1.09424173357E-46
   0.410000000000    0.312403840464    0.355306020520    0.312403840464  1/2  3.49599747214  3.99599747214     -9.79815132E-201  -1.43659422864E-46
   0.420000000000    0.318535277187    0.363043893101    0.318535277187  1/2  3.41715003390  3.91715003390     -6.53210088E-201  -1.86694656416E-46
   0.430000000000    0.324621125124    0.370750439252    0.324621125124  1/2  3.34154589332  3.84154589332     4.899075662E-201  -2.40311964896E-46
   0.440000000000    0.330662386292    0.378426218767    0.330662386292  1/2  3.26897524487  3.76897524487    -3.266050442E-201  -3.06557066840E-46
   0.450000000000    0.336660026534    0.386071773851    0.336660026534  1/2  3.19924639910  3.69924639910     1.633025221E-201  -3.87763161862E-46
   0.460000000000    0.342614977318    0.393687629910    0.342614977318  1/2  3.13218384914  3.63218384914     1.633025221E-201  -4.86575271568E-46
   0.470000000000    0.348528137424    0.401274296286    0.348528137424  1/2  3.06762658100  3.56762658100     -9.79815132E-201  -6.05974959408E-46
   0.480000000000    0.354400374532    0.408832266957    0.354400374532  1/2  3.00542659239  3.50542659239     1.143117654E-200  -7.49305322423E-46
   0.490000000000    0.360232526704    0.416362021194    0.360232526704  1/2  2.94544759052  3.44544759052     -9.79815132E-201  -9.20296150448E-46
   0.500000000000    0.366025403784    0.423864024184    0.366025403784  1/2  2.88756384413  3.38756384413              0.E-202  -1.12308915176E-45
   0.510000000000    0.371779788708    0.431338727620    0.371779788708  1/2  2.83165916874  3.33165916874     -8.16512610E-201  -1.36226314832E-45
   0.520000000000    0.377496438739    0.438786570254    0.377496438739  1/2  2.77762602736  3.27762602736    -1.143117654E-200  -1.64285914844E-45
   0.530000000000    0.383176086633    0.446207978426    0.383176086633  1/2  2.72536473159  3.22536473159     -8.16512610E-201  -1.97040520998E-45
   0.540000000000    0.388819441732    0.453603366565    0.388819441732  1/2  2.67478273021  3.17478273021              0.E-202  -2.35094101264E-45
   0.550000000000    0.394427191000    0.460973137658    0.394427191000  1/2  2.62579397425  3.12579397425     3.266050442E-201  -2.79104206351E-45
   0.560000000000    0.400000000000    0.468317683702    0.400000000000  1/2  2.57831834906  3.07831834906    -1.633025221E-201  -3.29784346620E-45
   0.570000000000    0.405538513814    0.475637386133    0.405538513814  1/2  2.53228116531  3.03228116531     -6.53210088E-201  -3.87906318943E-45
   0.580000000000    0.411043357914    0.482932616224    0.411043357914  1/2  2.48761270178  2.98761270178    -1.633025221E-201  -4.54302477715E-45
   0.590000000000    0.416515138991    0.490203735478    0.416515138991  1/2  2.44424779394  2.94424779394     3.266050442E-201  -5.29867944782E-45
   0.600000000000    0.421954445729    0.497451095989    0.421954445729  1/2  2.40212546307  2.90212546307      6.53210088E-201  -6.15562753640E-45
   0.610000000000    0.427361849550    0.504675040790    0.427361849550  1/2  2.36118858117  2.86118858117      6.53210088E-201  -7.12413923790E-45
   0.620000000000    0.432737905309    0.511875904189    0.432737905309  1/2  2.32138356786  2.82138356786    -1.143117654E-200  -8.21517461673E-45
   0.630000000000    0.438083151965    0.519054012082    0.438083151965  1/2  2.28266011564  2.78266011564      6.53210088E-201  -9.44040285135E-45
   0.640000000000    0.443398113206    0.526209682255    0.443398113206  1/2  2.24497094044  2.74497094044    -4.899075662E-201  -1.08122206882E-44
   0.650000000000    0.448683298051    0.533343224672    0.448683298051  1/2  2.20827155486  2.70827155486    -1.633025221E-201  -1.23437700836E-44
   0.660000000000    0.453939201417    0.540454941749    0.453939201417  1/2  2.17252006161  2.67252006161    -1.633025221E-201  -1.40489550174E-44
   0.670000000000    0.459166304663    0.547545128614    0.459166304663  1/2  2.13767696515  2.63767696515      8.16512610E-201  -1.59424574642E-44
   0.680000000000    0.464365076099    0.554614073360    0.464365076099  1/2  2.10370499971  2.60370499971      9.79815132E-201  -1.80397525144E-44
   0.690000000000    0.469535971483    0.561662057284    0.469535971483  1/2  2.07056897183  2.57056897183    -4.899075662E-201  -2.03571226387E-44
   0.700000000000    0.474679434481    0.568689355110    0.474679434481  1/2  2.03823561638  2.53823561638    -1.633025221E-201  -2.29116710935E-44
   0.710000000000    0.479795897113    0.575696235217    0.479795897113  1/2  2.00667346430  2.50667346430      9.79815132E-201  -2.57213344685E-44
   0.720000000000    0.484885780180    0.582682959838    0.484885780180  1/2  1.97585272133  2.47585272133     -6.53210088E-201  -2.88048943794E-44
   0.730000000000    0.489949493661    0.589649785270    0.489949493661  1/2  1.94574515637  2.44574515637    -3.266050442E-201  -3.21819883116E-44
   0.740000000000    0.494987437107    0.596596962058    0.494987437107  1/2  1.91632399887  2.41632399887     1.633025221E-201  -3.58731196224E-44
   0.750000000000    0.500000000000    0.603524735182    0.500000000000  1/2  1.88756384413  2.38756384413      9.79815132E-201  -3.98996667126E-44
   0.760000000000    0.504987562112    0.610433344234    0.504987562112  1/2  1.85944056601  2.35944056601    -1.469722699E-200  -4.42838913794E-44
   0.770000000000    0.509950493836    0.617323023586    0.509950493836  1/2  1.83193123628  2.33193123628     3.266050442E-201  -4.90489463626E-44
   0.780000000000    0.514889156509    0.624194002553    0.514889156509  1/2  1.80501405007  2.30501405007              0.E-202  -5.42188821009E-44
   0.790000000000    0.519803902719    0.631046505547    0.519803902719  1/2  1.77866825684  2.27866825684     3.266050442E-201  -5.98186527137E-44
   0.800000000000    0.524695076596    0.637880752227    0.524695076596  1/2  1.75287409642  2.25287409642      8.16512610E-201  -6.58741212246E-44
   0.810000000000    0.529563014099    0.644696957644    0.529563014099  1/2  1.72761273971  2.22761273971      8.16512610E-201  -7.24120640468E-44
   0.820000000000    0.534408043279    0.651495332378    0.534408043279  1/2  1.70286623365  2.20286623365     1.796327743E-200  -7.94601747474E-44
   0.830000000000    0.539230484541    0.658276082669    0.539230484541  1/2  1.67861744997  2.17861744997     3.266050442E-201  -8.70470671114E-44
   0.840000000000    0.544030650891    0.665039410547    0.544030650891  1/2  1.65485003771  2.15485003771    -4.899075662E-201  -9.52022775248E-44
   0.850000000000    0.548808848170    0.671785513954    0.548808848170  1/2  1.63154837883  2.13154837883     3.266050442E-201  -1.03956266698E-43
   0.860000000000    0.553565375285    0.678514586862    0.553565375285  1/2  1.60869754695  2.10869754695      6.53210088E-201  -1.13340420751E-43
   0.870000000000    0.558300524426    0.685226819385    0.558300524426  1/2  1.58628326890  2.08628326890              0.E-202  -1.23387051676E-43
   0.880000000000    0.563014581273    0.691922397891    0.563014581273  1/2  1.56429188873  2.06429188873     -6.53210088E-201  -1.34129397209E-43
   0.890000000000    0.567707825203    0.698601505104    0.567707825203  1/2  1.54271033417  2.04271033417    -1.633025221E-201  -1.45601620124E-43
   0.900000000000    0.572380529476    0.705264320212    0.572380529476  1/2  1.52152608528  2.02152608528      9.79815132E-201  -1.57838806969E-43
   0.910000000000    0.577032961427    0.711911018956    0.577032961427  1/2  1.50072714504  2.00072714504    -1.633025221E-201  -1.70876966271E-43
   0.920000000000    0.581665382639    0.718541773732    0.581665382639  1/2  1.48030201191  1.98030201191     -8.16512610E-201  -1.84753026232E-43
   0.930000000000    0.586278049120    0.725156753679    0.586278049120  1/2  1.46023965409  1.96023965409    -1.633025221E-201  -1.99504831930E-43
   0.940000000000    0.590871211464    0.731756124764    0.590871211464  1/2  1.44052948530  1.94052948530     -6.53210088E-201  -2.15171142049E-43
   0.950000000000    0.595445115010    0.738340049873    0.595445115010  1/2  1.42116134220  1.92116134220      9.79815132E-201  -2.31791625155E-43
   0.960000000000    0.600000000000    0.744908688889    0.600000000000  1/2  1.40212546307  1.90212546307    -3.266050442E-201  -2.49406855556E-43
   0.970000000000    0.604536101719    0.751462198770    0.604536101719  1/2  1.38341246783  1.88341246783    -1.633025221E-201  -2.68058308730E-43
   0.980000000000    0.609053650641    0.758000733628    0.609053650641  1/2  1.36501333924  1.86501333924    -1.143117654E-200  -2.87788356377E-43
   0.990000000000    0.613552872566    0.764524444801    0.613552872566  1/2  1.34691940522  1.84691940522      8.16512610E-201  -3.08640261096E-43
    1.00000000000    0.618033988750    0.771033480925    0.618033988750  1/2  1.32912232216  1.82912232216     -8.16512610E-201  -3.30658170700E-43



[оновити]: AnotheR pRotocol, aS RequeSted by Will Jagy iS at my webSite (to Save Space heRe) at go.helms-net.de
2
додано
@ Will: Я підготував протокол для напівповторень початкової функції f (x) = x ^ 2 + 0.25. Див.
додано Автор Hobo, джерело
@Will: що стосується n - ну, це скасовується, якщо я обчислюю різницю між двома значеннями Abel з тим же n - так я не бачив ефекту. (Я тільки дивувався, коли я помітив, що індивідуальні значення Авеля зросли так сильно, коли я збільшив n за точність. ;-) Я виправлю формулу для цього ... спасибі за натяк.
додано Автор Hobo, джерело
Я зробив невелику зміну в коді частини моєї відповіді ... Дивлячись на ваш fAbel, у вас є лог (), але я не бачу все важливе віднімання $ N $ себе. Аспект завантаження полягає в тому, що $$ alpha (x_0) = альфа (x_n) - n, $$ і з кінцевим наближенням до $ alpha $ ми можемо отримати правильну межу, як $ n \ t думаю, ви могли б працювати на дисплеї для малих $ x, $ як у числовій частині наприкінці "title =" формальне зближення силового ряду "> mathoverflow.net/questions/45608/… Я визнаю, що це дуже багато роботи.
додано Автор A.D., джерело
Радий це приїжджає де-небудь. Зауважимо, що $ alfa $ завжди необхідно обчислювати, враховуючи $ h (x), h (0) = 0, h '(0) = 1, $ з вибором $ h (x), h ^ {- 1} (x) $, що трохи нижче $ x. $ Отже, для мого $ sin x $ відповіді я використав $ sin x, $, але тут, для $ x + x ^ 2, $ необхідно використовувати інверсію. Отже, $ -1/2 $ у визначенні $ g (x) $ у моїй відповіді вище, де $ sin x $ використано $ + 1/2. $ Ну, якщо ви можете витримати це, будь ласка, зробіть остаточний числовий результат для, скажімо, $ 0
додано Автор A.D., джерело
Добре, я думаю, що ви показали розрахунок $ alpha. $ Для того, щоб $ alpha ^ {- 1} (x) $ доступний я мав комп'ютер вирішувати $ alpha (t) = x $ чисельно, шляхом бісекції як я пам'ятаю, в C ++. При цьому я отримав ще одну функцію C ++, що дає $ g (x) $ в моїй відповіді, що відображає, що відображається $ g (g (x)) $ і $ x + x ^ 2 $ і помилка $ x + x ^ 2 - g (g (x)) $ в паралельних стовпцях.
додано Автор A.D., джерело
Я ставлю нову відповідь з програмою C ++ і виводимо для завдання $ f (f (x)) = sin x, $ з $ 0
додано Автор A.D., джерело
@ GottfriedHelms, спасибі, я відправив висновок і C + + програми я мав на увазі, як ще одна відповідь. Точність не чудова, майже все потребує тонкої настройки.
додано Автор A.D., джерело
@ Sheldonison, радий, що ви отримуєте книгу. Метод Ecalle знаходиться в повному обсязі, потрібно просто копати трохи. Я розмістив половину ітерації $ sin x $ як окрему відповідь. Зауважимо, що немає нічого особливого про $ 1/2, $ та ж програма з $ 1/3 $ в тому ж місці буде вирішувати $ f (f (f (x))) = x x. $ Між тим, $ \ t у мене вона повинна бути голоморфною в будь-якому місці, де повинна існувати межа, тобто в будь-якому місці $ x_n, аргумент x_n, що відповідає 0. $ Для $ x + x ^ 2, $ this повинно включати всі $ mathbb C $, окрім $ 0 $ і негативні реальної осі. Основна квадратна коренева гілка!
додано Автор A.D., джерело
Тобто межа, коли ціле число n переходить до нескінченності, $ ata (z + n) $ добре визначена, і збігається до аналітичної 1-циклічної функції, я можу опублікувати деякі фотографії, можливо, пізніше. $ ata (z) = lim_ {n інтенсивні} {abel} _ {x ^ 2 + 0.25} (2 ^ {2 ^ {z + n}}) - z-n $$
додано Автор Sheldon L, джерело
@WillJagy, Gottfried, Дякуємо вам обом за важку роботу. Я не встигнув відтворити замкнутий для коефіцієнтів для функції abel (координати fatou), для x ^ 2 + x. Цікаво, що функція центрується в сингулярності і має нульовий радіус збіжності, де всі похідні визначені і корисні !. Я замовив "Ітеративні функціональні рівняння", виходячи з вашої рекомендації. Крім того, я думаю, що $ ата (z) $ з мого початкового повідомлення є аналітичним і аналітичним, добре визначеним, для $ Im (z)
додано Автор Sheldon L, джерело

Arguably an off-subject remark:

If only you relented to allow c < 0, there is the celebrated ("chaotic " logistic map) closed form example (p302) of Ernst Schroeder himself (1870); namely, for
$$ h(x)= x^2-2, $$ it follows directly that for $$ y=\frac{x\pm \sqrt{x^2-4}}{2} $$ that is $$ x=y+y^{-1}, $$ one has $$ h(x)=y^2+y^{-2}\equiv h_1(x). $$ Whence, subscripting the iteration index, $$ h_n(x)= y^{2^n}+ y^{-2^n}. $$

Це, отже, визначає всю групу ітерацій: так що ваш функціональний квадратний корінь просто $$ h _ {sqrt2} (x) = y ^ {sqrt 2} + y ^ {- sqrt 2}. $$

Вибачте, якщо це було зроблено, явно, або неявно, у вищих відповідях, наведених вище. Якщо ні, то цілком можуть запропонувати ідеї щодо керівництва або продовження.

Більш формально, на мові ES скрученості, $ psi (x) = frac {x, pm {x ^ 2-4}} {2} $, $ ~ f (y) = y ^ 2 $ , $ ~ f_n (y) = y ^ {2 ^ n} $; так що $ h (x) = psi ^ {- 1} окружність f \ _ psi (x) $, і $$ h_n = psi ^ {- 1} окружність f_n \ t

Метод апроксимації сполучених ітерацій доступний в документ 2011: Приблизні рішення функціональних рівнянь . Вибачення, якщо ця відповідь на пізню жайворонку лише дає вугілля Ньюкаслу, але, на моєму досвіді, це канонічний гамб хаосних дискусій - природно, домени і діапазони підібрані для того, щоб відповідь мала сенс.

2
додано
дуже хороша. Я не знав про це рішення закритої форми. Мені доведеться читати вашу статтю; що займе деякий час.
додано Автор Sheldon L, джерело

Remark: Shel, possibly I misunderstood something in your post and this pictures here may be completely crap. I expected diff/theta-function-curve crossing the x-axis, but see only the wobbling around a certain y-value. So if this is all wrong, please let me know and I'll improve or delete this post


Зображення для тета-функції у вашій (Шелдон) оригінальній публікації. Я розумію z -параметр у тета-функції як "висоту" -параметр, коли деяке число $ x_0 $ повторюється $ h $ - (або $ z $ -) раз до числа $ x_h $.
ось як я реалізував функцію diff:

{shtheta(h,x0=1)= local(a,xh,h1,l2=log(2));
  xh = iterateByAbelfunction(x0,h);
  h1 = log(log(xh)/l2)/l2;  \\ h1 should give the height-difference in terms of 
         \\ the other function $x^2$
  return(h1-h);}

Ваш приклад вагання - $ x_0 = 800000000 $ - тут я починаю з $ x_0 = 60 $ і показую ітерації кроками від 1/10 до $ x_6 $, що перетинає ваш 800000000 на висоті близько $ 2.3239 $. Це синя крива на першому ділянці. Крива пурпурового кольору є еквівалентною, але починається з $ x_0 = 70 $, і вона повинна бути лівим зсувом блакитної кривої на деякі малі $ h $ (тільки для поліпшення візуалізації проблеми):

picture1

Наступна картина - це деталі більших "висот" (від $ x_1, приблизно 3600 $ на), а крива пурпурової кривої змінюється, щоб відповідати в останній точці $ h = 6 $, щоб зробити вигляд тонкої синусоїдальної форми.

picture2


[Додано]: Hmm, I think now I understand the question and what's going on better now after some more consideration. And I leave the pictures so far, because they are still informative even if not directly to the point.

Моя гіпотеза на даний момент: "розгойдування", що призводить до зміни знака у вашій тета-функції, обумовлене відмінностями або краще іншим поведінкою функцій, коли розглядаються похідні щодо параметра висоти. Без точного обстеження я припускаю, що похідні всіх порядків $ x ^ 2 $ -функції по відношенню до ітерації-висоти-параметра завжди позитивні, але абеля-ітерація може бути змішана так що зміна значення функції не є "повністю гладкою".

Я сподіваюся, що я зрозумів це зрозумілим дотепер, можливо, я можу зробити краще пізніше ...


[added2]: I took a closer look at your theta-function and searched for change-signs earlier than your $x_0 = 8e8 $. I found some, for instance $x_0 = 2000 $ and the first 20 iterates in steps of 1/10. Then I scanned 16 areas beginning at $x_0 = 10^{k/2} $ and iterating from $ x_0 $ 20 times by height of 1/10. Each of the latter trajectories make a line in the following plot, also the lines are normalized such that their amplitude is between $ \pm 1 $. Only that lines are drawn which contain at least one sign-change.

sign-changes


1
додано
@Shel: ви дані/аналітики похідних по відношенню до параметра висоти? Я намагався зробити це чисельно, але не досягаю високих похідних через бінарний пошук-реалізацію зворотної Абель-функції. Я отримав негативні похідні при порядку gt 7, але я дуже не впевнений у надійності таких іграшкових розрахунків.
додано Автор Hobo, джерело
Гей, Готфрід; ваші фотографії відповідають результатам, які я створив. Функція тета сходиться до 1-циклічної функції, а не до постійної. Тому половина ітерацій однієї функції іноді більша, а іноді й менша, ніж половина ітерацій інших функцій, як дві суперфункції $ alpha_ {x ^ 2} ^ {- 1} $ і $ alpha_ {x 2 + 0.25} ^ {- 1} $ criss перетинають один одного нескінченне число разів, якщо вирівнюються на великих реальних значеннях. Дякуємо за всю роботу знову.
додано Автор Sheldon L, джерело
Так, я можу генерувати точні числові значення для 1-циклічної функції, що $ eta (z) $ збігається до, а також для будь-якого з його похідних, хоча я перейшов на генерацію $ ita_2 (z) = ^ 2 + 0.25} (альфа ^ {- 1} _ {х ^ 2}) = альфа_ {х ^ 2 + 0,25} (2 ^ {2 ^ z}) $ я можу генерувати $ a2_2 (z) $ в комплексній площині до тих пір, поки $ Im (z)
додано Автор Sheldon L, джерело

Gottfried, ось вихід і C ++ програма для половини ітерації $ sin x. $ Ви повинні мати можливість копіювати ці і вставляти в текстові файли, роздруковувати для більш ретельного вивчення. Якщо ви пройдете програму C +, ви знайдете ряд варіантів вибору, які я повинен був зробити, які межі я мав ввести. Коротка версія полягає в тому, що комп'ютер насправді не займається математикою. Більшість таких обмежень потрібно змінити для проблеми $ x + x ^ 2 $.

=========================

[email protected]:~$  g++ -o abel_sine   abel_sine.cc -lm   
    [email protected]:~$ 
[email protected]:~$ 
    [email protected]:~$ ./abel_sine
         x               alpha(x)              f(x)                f(f(x))                sin x               f(f(x))- sin x 
1.570796326794897   2.089622719673273    1.140179476167262    1.000000000000167    1    1.67e-13
1.562069680534925   2.089797249258235    1.140115090046273    0.9999619230634524    0.9999619230641713    -7.188e-13
1.553343034274953   2.09032097448571    1.139921975900568    0.999847695158399    0.9998476951563913    2.008e-12
1.544616388014982   2.091194304923151    1.139600266203484    0.9996573249780338    0.9996573249755573    2.477e-12
1.53588974175501   2.0924179237329    1.139150181135067    0.9993908270177291    0.9993908270190958    -1.367e-12
1.527163095495039   2.093992788553488    1.138572027671961    0.9990482215816853    0.9990482215818578    -1.725e-13
1.518436449235067   2.095920132741632    1.137866198271987    0.9986295347537874    0.9986295347545739    -7.866e-13
1.509709802975096   2.098201466844743    1.137033169308497    0.9981347984222052    0.998134798421867    3.382e-13
1.500983156715124   2.10083858053253    1.136073499125411    0.9975640502629188    0.9975640502598243    3.095e-12
1.492256510455153   2.103833544989774    1.134987825712907    0.9969173337335647    0.9969173337331281    4.367e-13
1.483529864195181   2.107188715362888    1.133776864276473    0.9961946980874663    0.9961946980917457    -4.279e-12
1.47480321793521   2.110906733837137    1.132441404386233    0.9953961983660398    0.9953961983671789    -1.139e-12
1.466076571675238   2.114990533073489    1.130982306919422    0.9945218953721769    0.9945218953682734    3.903e-12
1.457349925415266   2.119443339917354    1.129400500817922    0.9935718556769257    0.9935718556765877    3.381e-13
1.448623279155295   2.124268679484612    1.127696979720126    0.9925461516392783    0.9925461516413222    -2.044e-12
1.439896632895323   2.129470379858582    1.125872798278496    0.991444861375245    0.9914448613738106    1.434e-12
1.431169986635352   2.135052576998492    1.123929068488904    0.9902680687417381    0.9902680687415705    1.676e-13
1.42244334037538   2.141019720127247    1.121866955896414    0.9890158633592981    0.989015863361917    -2.619e-12
1.413716694115409   2.147376577526611    1.119687675701728    0.9876883405944573    0.987688340595138    -6.807e-13
1.404990047855437   2.154128243013393    1.117392488792027    0.9862856015385387    0.9862856015372317    1.307e-12
1.396263401595466   2.161280142477607    1.114982697899367    0.9848077530109615    0.9848077530122084    -1.247e-12
1.387536755335494   2.168838041301966    1.112459643576912    0.9832549075641427    0.9832549075639549    1.877e-13
1.378810109075522   2.176808052031916    1.109824700383979    0.9816271834461333    0.9816271834476643    -1.531e-12
1.370083462815551   2.185196642699624    1.107079272988684    0.9799247046204426    0.97992470462083    -3.875e-13
1.361356816555579   2.194010645601362    1.104224792442635    0.978147600735532    0.9781476007338061    1.726e-12
1.352630170295608   2.203257266737447    1.101262712496418    0.9762960071208225    0.9762960071199339    8.887e-13
1.343903524035636   2.212944095790644    1.09819450604305    0.9743700647819381    0.9743700647852358    -3.298e-12
1.335176877775665   2.223079116682825    1.095021661692928    0.9723699203987797    0.9723699203976772    1.102e-12
1.326450231515693   2.233670718878459    1.091745680449532    0.970295726276226    0.9702957262759971    2.288e-13
1.317723585255722   2.244727709254562    1.088368072577014    0.9681476403767416    0.9681476403781085    -1.367e-12
1.30899693899575   2.256259324701092    1.084890354600779    0.9659258262894636    0.9659258262890691    3.945e-13
1.300270292735779   2.268275245578629    1.081314046433883    0.96363045320776    0.9636304532086238    -8.638e-13
1.291543646475807   2.280785609739596    1.077640668738836    0.9612616959382626    0.9612616959383197    -5.711e-14
1.282817000215835   2.293801027536249    1.073871740386705    0.9588197348688526    0.9588197348681939    6.587e-13
1.274090353955864   2.307332597594172    1.070008776124908    0.9563047559607781    0.9563047559630364    -2.258e-12
1.265363707695892   2.321391923482768    1.066053284412405    0.9537169507464506    0.9537169507482279    -1.777e-12
1.256637061435921   2.335991131415195    1.062006765369705    0.9510565162916613    0.9510565162951546    -3.493e-12
1.247910415175949   2.351142888736468    1.05787070899942    0.9483236552102109    0.9483236552062004    4.01e-12
1.239183768915978   2.366860423790059    1.053646593414757    0.9455185755993928    0.9455185755993181    7.477e-14
1.230457122656006   2.383157546478087    1.049335883386878    0.9426414910921447    0.9426414910921797    -3.498e-14
1.221730476396035   2.400048670254277    1.044940028933495    0.9396926207860129    0.9396926207859098    1.032e-13
1.213003830136063   2.417548835367758    1.040460464063523    0.9366721892491495    0.936672189248399    7.505e-13
1.204277183876092   2.435673733145449    1.035898605716419    0.9335804264986549    0.9335804264972032    1.452e-12
1.19555053761612   2.454439731860765    1.031255852789073    0.9304175679812271    0.930417567982026    -7.99e-13
1.186823891356148   2.473863903998104    1.026533585292046    0.9271838545661663    0.927183854566789    -6.228e-13
1.178097245096177   2.493964054967222    1.02173316363901    0.9238795325090804    0.9238795325112884    -2.208e-12
1.169370598836205   2.514758753496239    1.016855928036505    0.9205048534529242    0.920504853452442    4.821e-13
1.160643952576234   2.536267363729707    1.011903197989368    0.9170600743837248    0.9170600743851258    -1.401e-12
1.151917306316262   2.558510079101107    1.006876271894271    0.9135454576415555    0.9135454576426028    -1.047e-12
1.143190660056291   2.581507958152186    1.001776426723116    0.9099612708778302    0.9099612708765452    1.285e-12
1.134464013796319   2.605282962374109    0.9966049178092303    0.9063077870371731    0.906307787036652    5.21e-13
1.125737367536348   2.629857996211353    0.991362978691083    0.902585284349963    0.9025852843498627    1.002e-13
1.117010721276376   2.655256949359655    0.9860518210215875    0.8987940463001794    0.8987940462991693    1.01e-12
1.108284075016404   2.681504741490701    0.9806726345810403    0.8949343616014301    0.8949343616020273    -5.972e-13
1.099557428756433   2.708627369540522    0.9752265872979949    0.8910065241870156    0.8910065241883702    -1.355e-12
1.090830782496461   2.736651957824606    0.9697148253662368    0.8870108331778287    0.8870108331782242    -3.955e-13
1.08210413623649   2.765606811018468    0.9641384733796046    0.8829475928587646    0.8829475928589295    -1.65e-13
1.073377489976518   2.795521470226737    0.9584986345356789    0.8788171126648318    0.878817112661968    2.864e-12
1.064650843716547   2.826426772508374    0.9527963908518935    0.8746197071395291    0.8746197071393985    1.305e-13
1.055924197456575   2.858354913751867    0.9470328034459542    0.8703556959388662    0.8703556959399025    -1.036e-12
1.047197551196604   2.891339515514807    0.9412089128103676    0.8660254037845894    0.8660254037844416    1.478e-13
1.038470904936632   2.925415695716123    0.9353257391523401    0.8616291604429854    0.8616291604415288    1.457e-12
1.029744258676661   2.960620143835987    0.9293842827084959    0.8571673007030102    0.8571673007021154    8.948e-13
1.021017612416689   2.9969912004877    0.9233855241332601    0.8526401643541009    0.8526401643540954    5.5e-15
1.012290966156717   3.034568942047008    0.917330424865585    0.8480480961550872    0.8480480961564293    -1.342e-12
1.003564319896746   3.073395270552342    0.9112199275023417    0.8433914458131571    0.8433914458128892    2.679e-13
0.9948376736367742   3.113514009129762    0.9050549562250868    0.8386705679470567    0.8386705679454275    1.629e-12
0.9861110273768026   3.15497100348056    0.898836417188782    0.8338858220670221    0.8338858220671717    -1.496e-13
0.9773843811168309   3.197814229903693    0.8925651989452422    0.8290375725551387    0.8290375725550453    9.342e-14
0.9686577348568592   3.242093910109351    0.8862421728601458    0.8241261886224458    0.8241261886220193    4.266e-13
0.9599310885968876   3.287862633586828    0.879868193524259    0.8191520442894937    0.8191520442889955    4.983e-13
0.9512044423369159   3.335175487815631    0.8734440991925499    0.8141155183553906    0.8141155183563229    -9.322e-13
0.9424777960769443   3.384090197201132    0.8669707121887551    0.8090169943759534    0.8090169943749511    1.002e-12
0.9337511498169726   3.434667271114187    0.8604488393229293    0.8038568606171045    0.8038568606172211    -1.166e-13
0.9250245035570009   3.486970161786047    0.8538792723239174    0.7986355100449838    0.7986355100472966    -2.313e-12
0.9162978572970293   3.541065433050421    0.8472627882370599    0.7933533402928782    0.7933533402912389    1.639e-12
0.9075712110370576   3.597022940460811    0.8406001498247243    0.7880107536060511    0.7880107536067258    -6.747e-13
0.898844564777086   3.654916023782846    0.8338921059833749    0.7826081568524549    0.7826081568524178    3.709e-14
0.8901179185171143   3.714821712899276    0.8271393921270344    0.7771459614564634    0.7771459614569748    -5.114e-13
0.8813912722571426   3.776820948144887    0.8203427305763973    0.7716245833886337    0.7716245833877239    9.098e-13
0.872664625997171   3.840998816201751    0.8135028309417914    0.7660444431193557    0.766044443118982    3.737e-13
0.8639379797371993   3.907444802956659    0.8066203904921975    0.7604059655998167    0.7604059656000349    -2.183e-13
0.8552113334772277   3.976253064418468    0.7996960945209469    0.7547095802228779    0.754709580222776    1.019e-13
0.846484687217256   4.047522717554861    0.7927306167057516    0.7489557207889515    0.7489557207890062    -5.478e-14
0.8377580409572843   4.121358152488275    0.7857246194518964    0.7431448254778213    0.7431448254773984    4.23e-13
0.8290313946973127   4.197869367946095    0.7786787542314179    0.7372773368098199    0.7372773368101282    -3.083e-13
0.820304748437341   4.277172331855565    0.7715936619193097    0.7313537016199069    0.7313537016191747    7.322e-13
0.8115781021773694   4.359389369472554    0.7644699731098611    0.7253743710123502    0.7253743710122919    5.84e-14
0.8028514559173977   4.44464958112486    0.7573083084350879    0.7193398003383135    0.7193398003386554    -3.419e-13
0.794124809657426   4.533089292654865    0.7501092788654206    0.7132504491541066    0.7132504491541859    -7.922e-14
0.7853981633974544   4.62485254090908    0.7428734860097658    0.7071067811867108    0.7071067811865518    1.59e-13
0.7766715171374827   4.720091598015148    0.7356015224000657    0.7009092643000908    0.7009092642998552    2.356e-13
0.7679448708775111   4.818967537591733    0.7282939717754637    0.6946583704591859    0.6946583704590017    1.842e-13
0.7592182246175394   4.921650846968804    0.720951409345866    0.6883545756948402    0.6883545756937584    1.082e-12
0.7504915783575677   5.028322089651628    0.7135744020657152    0.6819983600612781    0.6819983600625029    -1.225e-12
0.7417649320975961   5.139172622795304    0.7061635088809503    0.6755902076159824    0.6755902076156647    3.178e-13
0.7330382858376244   5.254405375169721    0.6987192809784984    0.6691306063589889    0.6691306063588627    1.262e-13
0.7243116395776528   5.374235691004179    0.691242262029392    0.662620048215301    0.6626200482157419    -4.41e-13
0.7155849933176811   5.498892246707164    0.6837329884165688    0.6560590289905577    0.6560590289905118    4.588e-14
0.7068583470577094   5.628618047438257    0.6761919894614631    0.6494480483300543    0.6494480483301882    -1.339e-13
0.6981317007977378   5.763671511631959    0.668619787645836    0.6427876096866919    0.6427876096865439    1.48e-13
0.6894050545377661   5.90432765237732    0.6610168988175303    0.6360782202774796    0.6360782202777685    -2.889e-13
0.6806784082777945   6.050879365886855    0.6533838323960274    0.6293203910485133    0.6293203910498421    -1.329e-12
0.6719517620178228   6.203638837854859    0.6457210915773558    0.622514636637184    0.6225146366376242    -4.402e-13
0.6632251157578511   6.362939080783414    0.6380291735147949    0.615661475326012    0.615661475325663    3.491e-13
0.6544984694978795   6.52913561579431    0.6303085695103486    0.6087614290088724    0.6087614290087253    1.471e-13
0.6457718232379078   6.702608314865735    0.6225597651974978    0.6018150231524227    0.6018150231520529    3.698e-13
0.6370451769779362   6.883763421564897    0.6147832407083788    0.5948227867511601    0.594822786751346    -1.859e-13
0.6283185307179645   7.073035769540815    0.6069794708489119    0.5877852522921504    0.5877852522924779    -3.275e-13
0.6195918844579928   7.270891222022756    0.5991489252565654    0.580702955710814    0.5807029557109445    -1.305e-13
0.6108652381980212   7.477829357186803    0.5912920685590121    0.5735764363511614    0.5735764363510508    1.105e-13
0.6021385919380495   7.694386428365712    0.5834093605319176    0.5664062369248626    0.5664062369248376    2.495e-14
0.5934119456780779   7.92113863184846    0.5755012562413925    0.559192903470643    0.5591929034707517    -1.087e-13
0.5846852994181062   8.158705718991168    0.5675682061897346    0.5519369853118498    0.551936985312063    -2.133e-13
0.5759586531581345   8.407754994894194    0.5596106564554811    0.5446390350146952    0.544639035015032    -3.367e-13
0.5672320068981629   8.66900575174868    0.551629048824707    0.5372996083468988    0.5372996083468287    7.012e-14
0.5585053606381912   8.943234191300538    0.5436238209257175    0.5299192642334759    0.5299192642332099    2.661e-13
0.5497787143782196   9.231278899505508    0.5355954063521043    0.5224985647158779    0.5224985647159538    -7.591e-14
0.5410520681182479   9.534046944818202    0.5275442347881528    0.5150380749101889    0.5150380749100592    1.298e-13
0.5323254218582762   9.852520683123755    0.5194707321240777    0.5075383629604596    0.5075383629607091    -2.495e-13
0.5235987755983046   10.18776536379429    0.5113753205753963    0.5000000000000185    0.500000000000005    1.359e-14
0.5148721293383329   10.5409376470348    0.5032584187915337    0.4924235601033757    0.4924235601034721    -9.635e-14
0.5061454830783613   10.9132951590664    0.4951204419650395    0.4848096202466469    0.484809620246342    3.049e-13
0.4974188368183896   11.30620723213198    0.4869618019379184    0.4771587602596055    0.4771587602596134    -7.943e-15
0.4886921905584179   11.72116700038288    0.4787829073033011    0.4694715627857963    0.4694715627858958    -9.951e-14
0.4799655442984463   12.15980505066864    0.4705841635040446    0.4617486132350187    0.461748613235039    -2.025e-14
0.4712388980384746   12.62390486085756    0.4623659729290933    0.4539904997393583    0.4539904997395518    -1.935e-13
0.462512251778503   13.11542029798774    0.4541287350079981    0.4461978131097237    0.4461978131098138    -9.011e-14
0.4537856055185313   13.63649549665965    0.4458728463009803    0.4383711467888277    0.4383711467890825    -2.548e-13
0.4450589592585596   14.18948749456151    0.4375987005880136    0.430511096808511    0.4305110968083002    2.108e-13
0.436332312998588   14.77699207113133    0.4293066889536564    0.4226182617407371    0.4226182617407045    3.263e-14
0.4276056667386163   15.40187331739451    0.4209971998720734    0.4146932426561999    0.4146932426562441    -4.424e-14
0.4188790204786447   16.06729756603474    0.4126706192877134    0.406736643075842    0.4067366430758053    3.671e-14
0.410152374218673   16.77677243167431    0.4043273306941902    0.398749068925039    0.3987490689252513    -2.123e-13
0.4014257279587014   17.5341918599396    0.395967715212569    0.3907311284892019    0.3907311284892789    -7.698e-14
0.3926990816987297   18.34388826603718    0.3875921516643238    0.3826834323651386    0.3826834323650949    4.369e-14
0.383972435438758   19.21069306622348    0.3792010166474029    0.3746065934158916    0.3746065934159172    -2.551e-14
0.3752457891787864   20.14000718258347    0.3707946846048101    0.3665012267243153    0.3665012267243024    1.288e-14
0.3665191429188147   21.13788344338393    0.3623735278961574    0.3583679495450947    0.3583679495453054    -2.108e-13
0.3577924966588431   22.21112322880513    0.3539379168645402    0.3502073812594791    0.3502073812594726    6.543e-15
0.3490658503988714   23.36739024704952    0.3454882199029256    0.3420201433257344    0.3420201433256739    6.05e-14
0.3403392041388997   24.61534499989699    0.3370248035190024    0.3338068592337521    0.3338068592337761    -2.399e-14
0.3316125578789281   25.96480435099705    0.3285480323981683    0.3255681544572641    0.3255681544571618    1.022e-13
0.3228859116189564   27.42693169770672    0.3200582694652451    0.3173046564051455    0.3173046564050973    4.82e-14
0.3141592653589848   29.01446464166528    0.3115558759448501    0.309016994374907    0.3090169943749526    -4.555e-14
0.3054326190990131   30.74198885093753    0.3030412114206977    0.3007057995041578    0.3007057995042783    -1.205e-13
0.2967059728390414   32.62626914131836    0.2945146338927068    0.2923717047226995    0.2923717047227419    -4.243e-14
0.2879793265790698   34.68665185615107    0.2859764998337534    0.2840153447039544    0.2840153447039278    2.661e-14
0.2792526803190981   36.94555664461375    0.2774271642453188    0.2756373558170049    0.2756373558170044    5.239e-16
0.2705260340591265   39.42908107641249    0.2688669807114518    0.2672383760782664    0.2672383760782621    4.346e-15
0.2617993877991548   42.16774867607366    0.260296301451735    0.2588190451025504    0.258819045102526    2.445e-14
0.2530727415391831   45.19744061091124    0.2517154773737363    0.2503800040544488    0.2503800040544466    2.234e-15
0.2443460952792115   48.56056442366351    0.2431248581240499    0.2419218955996406    0.2419218955996729    -3.228e-14
0.2356194490192398   52.30753131765482    0.2345247921385231    0.2334453638559151    0.2334453638559106    4.549e-15
0.2268928027592682   56.4986387155308    0.225915626691418    0.2249510543438699    0.2249510543438702    -2.537e-16
0.2181661564992965   61.2064903053345    0.2172977079441771    0.2164396139381293    0.216439613938108    2.128e-14
0.2094395102393248   66.51913636418844    0.2086713809927613    0.2079116908177978    0.2079116908177645    3.331e-14
0.2007128639793532   72.54419017165753    0.2000369899148535    0.1993679344171978    0.1993679344172024    -4.546e-15
0.1919862177193815   79.41428325980672    0.1913948778158753    0.1908089953765355    0.19080899537655    -1.447e-14
0.1832595714594099   87.29438125450602    0.1827453868744002    0.1822355254921534    0.1822355254921526    7.663e-16
0.1745329251994382   96.39172246024259    0.1740888583870049    0.1736481776669286    0.1736481776669355    -6.867e-15
0.1658062789394665   106.9695114145022    0.1654256328125449    0.1650476058606701    0.1650476058606828    -1.272e-14
0.1570796326794949   119.3660806949922    0.1567560498155935    0.156434465040227    0.156434465040236    -9.006e-15
0.1483529864195232   134.0221665724577    0.1480804483095538    0.1478094111296127    0.1478094111296158    -3.05e-15
0.1396263401595516   151.5204761717553    0.1393991664991375    0.1391731009600686    0.1391731009600706    -1.952e-15
0.1308996938995799   172.6443090412062    0.1307125419223942    0.1305261922200602    0.1305261922200567    3.51e-15
0.1221730476396082   198.4664891916352    0.1220209114922434    0.121869343405156    0.1218693434051526    3.391e-15
0.1134464013796366   230.4879361506713    0.1133246115375998    0.1132032137679124    0.1132032137679119    5.441e-16
0.104719755119665   270.8602612491742    0.1046239778440629    0.1045284632676639    0.1045284632676586    5.296e-15
0.09599310885969331   322.7560914893005    0.0959193456942896    0.09584575252023451    0.09584575252022914    5.365e-15
0.08726646259972166   391.0107887508433    0.0872110499079478    0.08715574274766681    0.08715574274766334    3.473e-15
0.07853981633975002   483.2891665285358    0.0784994248814307    0.07845909572784977    0.07845909572785012    -3.432e-16
0.06981317007977837   612.3322384664045    0.06978480462721946    0.06975647374413034    0.06975647374413048    -1.372e-16
0.06108652381980673   800.5982996267156    0.06106752281302281    0.06104853953486369    0.06104853953486206    1.641e-15
0.05235987755983508   1090.729452077929    0.0523479128006657    0.05233595624295204    0.05233595624294902    3.018e-15
0.04363323129986343   1571.988867808221    0.04362630768477163    0.04361938736533912    0.04361938736534119    -2.074e-15
0.03490658503989179   2458.078758458438    0.03490304033128337    0.03489949670250996    0.03489949670250617    3.79e-15
0.02617993877992014   4372.703870691502    0.02617844341578261    0.02617694830787946    0.02617694830787835    1.107e-15
0.0174532925199485   9843.561200591173    0.01745284946174855    0.01745240643728656    0.01745240643728871    -2.155e-15
         x               alpha(x)              f(x)                f(f(x))                sin x               f(f(x))- sin x 
[email protected]:~$ 
    [email protected]:~$ 

==========================

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;



//   lines after double slashes are comments

//   also on a line with a command, anything after//is  commentary

//  on a Unix or Linux computer,  compile using line


//       g++ -o abel_sine   abel_sine.cc -lm 

//  then run the program  with

//  ./abel_sine  




double abel(double x)
{
    double eps = 0.000000001;
   eps = eps/100000.0;
  double f = x ;
  double g = 1.0, g_old = 100.0, diff = 1.0 ;
 for( int n = 0; n <= 100000  && diff >= eps ; ++n)
 {


   g =  3.0/(f * f)  +  6.0 * log(f)/5.0 +  79.0 * f * f/ 1050.0 + 29.0 * f * f * f * f /2625.0   - n;


   diff = fabs(g - g_old);
// cout.precision(16);
// cout << n << "  " << x  << "  "  << f  << "  " << g <<  "   " << diff << endl ;
   f = sin ( 1.0 * f); 
   g_old = g;
 }
  return g;
}//abel


double inverse_abel(double x)
{
  int count = 0;
  double eps = 0.000000001;
     eps = eps/100000.0;
  double middle, left, right;
  if( x < 2.089607) return 0.0;
  else
  {
     left = 0.001;
    right = 2.0 * atan(1.0) ;
    middle = ( left + right)/2.0; 
    double left_val = abel(left) , right_val = abel(right), middle_val = abel(middle);
    while ( right - left > eps)
    {
      if (middle_val < x )
      {
        right = middle;
        middle = ( left + right)/2.0;
         right_val = abel(right);
        middle_val = abel(middle);
      }
      else
      {
        left = middle;
        middle = ( left + right)/2.0;
         left_val = abel(left);
        middle_val = abel(middle);
      }
      count++;
  //  cout << count;
   // cout.precision(16);
   // cout << "   " << x << "  " << middle << endl; 
    }//while not accurate
  } //else in range

  return  middle;
}//inverse_abel

double half_iterate(double x)
{
  return inverse_abel( 1/2.0 + abel(x)  );
}



int main()
{
   double my_pi = 4.0 * atan(1.0) ;
   double phlegm = 5.0;
 //cout << my_pi/2.0 << "   " <<  abel( my_pi/2.0) << endl;
// cout << my_pi/2.0 << "   " <<   half_iterate( my_pi/2.0) << endl;





cout <<  "         x               alpha(x)              f(x)                f(f(x))                sin x               f(f(x))- sin x " << endl;



  for( double x =  my_pi/2; x >= 0.01 ; x -= my_pi/360.0)
  {
//     cerr << x << endl;

cout.precision(16);
    cout << x << "   " <<  abel( x) << "    "  << half_iterate( x) << "    "  << half_iterate(half_iterate( x)) << "    " <<  sin(1.0 * x)   ;


cout.precision(4);
 cout << "    "  << half_iterate(half_iterate( x)) -  sin(1.0 * x)   << endl;
// cout <<  inverse_abel(abel(x))  -  x   << endl;
  }

cout <<  "         x               alpha(x)              f(x)                f(f(x))                sin x               f(f(x))- sin x " << endl;


  return 0 ;
}   // end of main



//       g++ -o abel_sine   abel_sine.cc -lm   

//   x                 alpha(x)              f(x)                 f(f(x))            f(f(x))- sin x
//1.570796326794897   2.089622719673273    1.140179476167262    1.000000000000167    1.67e-13

//1.562069680534925   2.089797249258235    1.140115090046273    0.9999619230634524    -7.188e-13

//1.553343034274953   2.090320974485711    1.139921975900568    0.999847695158399    2.008e-12

//1.544616388014982   2.091194304923151    1.139600266203484    0.9996573249780338    2.477e-12

//1.53588974175501   2.0924179237329    1.139150181135067    0.9993908270177291    -1.367e-12

//1.527163095495039   2.093992788553489    1.138572027671961    0.9990482215816853    -1.725e-13

//1.518436449235067   2.095920132741632    1.137866198271987    0.9986295347537874    -7.866e-13

//1.509709802975096   2.098201466844743    1.137033169308497    0.9981347984222052    3.382e-13

//1.500983156715124   2.10083858053253    1.136073499125411    0.9975640502629188    3.095e-12

//1.492256510455153   2.103833544989774    1.134987825712907    0.9969173337335647    4.367e-13

==========================

1
додано

** Додаткові оновлення, відповідь **

Знову ж таки, спасибі, Готтфрід, і Воля, за ваші оновлення і відповіді, і за важливу теоретичну основу, що підтверджує існування параболічного рішення. Для цього розділу оновлень я використовую $ alpha (z) $ як функцію abel $ x ^ 2 + 0.25 $, так що
$ alpha (z) = альфа (z ^ 2 + 0,25) -1 $
$ ata (z) = lim _ {(n з інтенсивним)} {альфа (s (z + n)) - z-n} $
$ s (z) = 2 ^ {2 ^ z} $, де 2 ^ 2 ^ z є суперфункцією для $ x ^ 2 $, $ s (z) = s ^ 2 (z-1) $

The reason for the switch, is that 2^2^z is well defined in the complex plane, making it easier to identify the analytic boundary of $\theta(z)$ in the complex plane. Earlier, I was generating a slightly different $\theta(z)$ from the composition of the abel function of $z^2$ with the superfunction of $z^2+0.25$. The key is that 2^2^z is periodic in the complex plane with period=$2\pi i/\log(2)$. In addition, as z increases, the absolute value of 2^2^z grows without bounds in the neighborhood of the real axis if $|\Im(z)|<0.5\pi/\log(2)$. The $\theta(z)$ function only converges to a 1-cyclic function if 2^2^z is growing in magnitude. To understand this, consider the function $f(z)=\sqrt{z^2-0.25}-z$. If the magnitude of z is large enough, than f(z) is an arbitrarily small function.

To help understand the definition of $\theta(z)$, consider one other function as an "alternative" abel/superfunction function of x^2+0.25. Define $g(z)=\sqrt{x-0.25}$, $g^{-1}(z)=z^2+0.25$, and consider the following "alternative" abel function for x^2+0.25.
$\alpha_{alt}(z)=\lim_{(n \to \infty)} \log_2(\log_2(g^{-1 o n}(z)))-n$
$\alpha_{alt}^{-1}(z)=\lim_{(n \to \infty)} {g^{o n}(2^{2^{z+n}})}$
This $\alpha_{alt}^{-1}(z)$ alternative inverse abel for (x^2+0.25) is not as well behaved as 2^2^z in the complex plane, but it is defined if $\Im(z)<\pi/2\log(2)$. In addition, this alternative function corresponds to generating $\alpha(z)$ from the super attracting fixed point at infinity, instead of the fixed point of 0.5. Because is is generated from the fixed point at infinity, half iterates for real numbers>1 generated with this alternative abel function, are always bigger than the half iterates of $x^2$!
$\alpha_{alt}^{-1}(\alpha_{alt}(x)+0.5)>x^{\sqrt{2}}$, for real(x)>1

Крім того, $ ata (z) = альфа (alpha_ {alt} ^ {- 1} (z)) $, що легко показати. Сподіваюся, це не надто заплутано, оскільки мій час цього ранку обмежений, і я хочу розмістити деякі ділянки $ eta (z) $, на реальній осі, і в складній площині.

$ ата $ на дійсній осі. Тут я довільно встановлюю $ eta (n) = 0 $ для досить великих цілих чисел. Зауважимо, що 2 ^ 2 ^ 9, це дійсно велике число, 10 ^ 154, тому тета (z) сходився. реальна ось тета http://sheltx.com/share_stuff/abel22z_real.jpg

$ ata $ у $ Im (z) = 1 $, зауважимо, що величина $ eta (z) $ тут набагато більша.

А ось аналітична межа тета, $ Im (z) = 0,5 pi/log (2) $, що показує фрактальну поведінку, оскільки 2 ^ 2 ^ z більше не зростає, а замість цього, | 2 ^ 2 ^ z | = 1.

тета imag i = 1 http://sheltx.com/share_stuff/abel22z_ieqpilog2.jpg

Нарешті, тут наведено графік співвідношення співвідношення двох суперфункций; обернена абелева функція для $ z ^ 2 + 0.25 $, і 2 ^ 2 ^ z, вирівняна до приблизно 50% робочого циклу, оскільки z збільшується.
суперфункція (z)/2 ^ 2 ^ z http://sheltx.com/share_stuff/plot_superf_22z.jpg

Враховуючи, що $ ата (z) $ визначається в комплексній площині, на відміну від тільки на реальній осі, досить просто створити похідні $ eta (z) $. Результати розміщено нижче. Ряд Фур'є також є відповідним поданням, і я також генерував коефіцієнти для цього представлення $ eta (z) $. - Шелдон

Коефіцієнти ряду Тейлора для $ eta (x) $, центровані в цілих значеннях для досить великих x. Результати були розраховані на точність 50 десяткових цифр, з 32 друкованими цифрами.

      a0=   0.0, my method can't calculate a unique value
      a1=   0.00000028810398845902074305989277221548
      a2=   0.00000089435733793739252528458588523408
      a3=  -0.0000018956451499697646411943344197949
      a4=  -0.0000029423289610212918024529854670052
      a5=   0.0000037418289741301058019029496736133
      a6=   0.0000038720089580678152184208095047739
      a7=  -0.0000035170858822412227427467114593047
      a8=  -0.0000027298239627872774249635651034448
      a9=   0.0000019282555213557966088957347187964
      a10=  0.0000011977279049053074677056810297193
      a11= -0.00000069174982884319540796335734464650
      a12= -0.00000035856584190142105144853204971408
      a13=  0.00000017476443978345605933412052585987
      a14=  0.000000078082360773990075295730752702844
      a15= -0.000000032632929388465892972414066625782
      a16= -0.000000013044250611865030061306500138718
      a17=  0.0000000046077520459399449519271392494947
      a18=  0.0000000017862361640653315104084905464566
      a19= -0.00000000047244000496147095322980527968311
      a20= -2.2853200883620998276187332225037 E-10
      a21=  2.2006495266220113739934318292157 E-11
      a22=  3.4223321847536372255896822143837 E-11
      a23=  5.3079836937900696515727605371273 E-12
      a24= -6.6588645528547823638468825694018 E-12
      a25= -2.2182507837443852330724254905386 E-12
      a26=  1.4315559424375709748743291952982 E-12
      a27=  5.5535195868969985670819915243637 E-13
      a28= -2.9118965305410181912463403433221 E-13
      a29= -1.1519357480572864323459930397988 E-13
      a30=  5.3266530517343176431264459132840 E-14
      a31=  2.1564860886672909324064036274316 E-14
      a32= -8.7692103463831850128049893554813 E-15
      a33= -3.8711319443724945736122721505205 E-15
      a34=  1.3300279324610041843065021692979 E-15
      a35=  7.0546171262916079313373944244875 E-16
      a36= -1.9335235895886778013423987940850 E-16
      a37= -1.3461650784510169419141972232730 E-16
      a38=  2.8225495528332258646098244330668 E-17
      a39=  2.6504795309806104325089128767594 E-17
1
додано
Привіт Shel- спасибі за протокол. Ну, що я намагався розрахувати похідні функції $ f (x, h) $ (де $ f (x, 1) = x ^ 2 + 0.25 $, і h є висота ітерації) у відношенні h (я завжди розумію, що це означає суперфункцію для $ x ^ 2 + 0.25 $, коли x деяке значення за замовчуванням), по відношенню до висоти ітерації h . Я міг би перейти лише до оцінки до 5'-ої або 6-ої похідної (чисельно) через бінарний пошук в зворотній абель-функції, яка, здається, не дуже ефективна в очевидній реалізації в Üari/GP ( "вирішити ()").
додано Автор Hobo, джерело
@GottfriedHelms Оскільки ця зворотна функція абеля є важкою, ви можете взяти функцію абеля 2 ^ 2 ^ z. тета (z) = abel (2 ^ 2 ^ z) -z це те, що я використав для цього останнього посту. Нас цікавить гранична поведінка, оскільки тета сходиться до 1-циклічної періодичної функції. Я розрахував похідні з цільною інтегральною вибіркою, яка добре працює для аналітичних функцій, до тих пір, поки найближча сингулярність не надто близько, інакше все більше і більше зразків. 2.266i - сингулярність; Я вибірка на дійсній осі з радіусом = 1. Трохи складно розрахувати абель (2 ^ 2 ^ z) у складній площині.
додано Автор Sheldon L, джерело

remark: this is the comment "g-coefficients" to Will's answer containing the c-program for the Abel-function.

@Will: Ось таблиця коефіцієнтів. (Ваші номери спочатку вказані як плаваючі (подвійні)) Я не знаю, які з них є правильними і не думали про можливу незначність, обумовлену n-ою ітерацією x у напрямку фіксованих точок.

                Helms                  Jagy
               -1  log(x)             -1   log(f) 
               -1    n                -1   n     
                1  x^-1                1   1/f
                0   x^0                0    --
              1/2   x^1              1/2   f
             -1/3   x^2             -1/3   f2
            13/36   x^3            13/36   f3
         -113/240   x^4         -113/240   f4
        1187/1800   x^5        1187/1800   f5
         -877/945   x^6         -877/945   f6
      14569/11760   x^7      14569/11760   f7
  -----------------------------------------------------
   -176017/120960   x^8     532963/24192   f8   *** here it begins to differ
  1745717/1360800   x^9  1819157/1360800   f9
    -88217/259875  x^10     -70379/47250  f10
0
додано
Готфрід, я прокинувся. Я зробив 8,9,10 коефіцієнтів у трохи поспіху минулої ночі, плюс я не такий великий з Pari. Правда тест полягає в наступному: відкиньте $ -n, $ виклик результат $ alpha (x). Візьміть похідну $ alpha '(x). $ Знайти потужність ряду для $ h (x) = (-1 + sqrt {1 + 4x})/2. $ Тоді $ lambda (x) $ має вирішити $ lambda (h (x)) = h '(x) cdot lambda (x). $ Значення, у Pari, силові ряди для $ lambda (h (x)) - h' (x) cdot lambda ( x) $ повинен мати коефіцієнт $ 0 $ до $ x ^ {11} $ або близько того.
додано Автор A.D., джерело
Подивився на це трохи, я думаю, що справжня біда полягає в тому, що Pari дав мені енергетичні ряди до O (x ^ 16), але я відсік їх рано.
додано Автор A.D., джерело

Проблема $ x + x ^ 2 $ з деяким виходом і кодом C ++

============================

[email protected]:~$ 
    [email protected]:~$ date
Wed Oct 10 19:41:20 PDT 2012
[email protected]:~$ 
    [email protected]:~$ g++ -o abel_any_function   abel_any_function.cc -lm 
[email protected]:~$ 
    [email protected]:~$ ./abel_any_function
         x               alpha(x)              f(x)                f(f(x))               x + x^2         f(f(x))- (x+x^2) 
4                     -0.3590448941269863      7.95040053721441     19.99999999998791    20                    -1.209e-11
3.9                   -0.3377026486408653      7.688520999700604    19.10999999997955    19.11                 -2.045e-11
3.8                   -0.3155523104802599      7.42911723768848     18.24000000000991    18.24                  9.912e-12
3.7                   -0.2925389073553167      7.172223398023817    17.39000000111184    17.39                  1.112e-09
3.6                   -0.2686020190344757      6.917874938470664    16.55999999997078    16.56                 -2.922e-11
3.5                   -0.2436750604472868      6.666108711998744    15.75000000000014    15.75                  1.386e-13
3.399999999999999     -0.2176844459454219      6.416963058840906    14.96000000005435    14.96                  5.435e-11
3.299999999999999     -0.1905486107379348      6.170477907091147    14.19000000001195    14.19                  1.195e-11
3.199999999999999     -0.1621768597700163      5.926694883235451    13.44000000000269    13.43999999999999      2.696e-12
3.099999999999999     -0.1324680068816612      5.685657433446336    12.7099999999996     12.70999999999999     -3.948e-13
2.999999999999999     -0.1013087576522246      5.447410957290053    12.00000000001379    11.99999999999999       1.38e-11
2.899999999999999     -0.0685717768874564      5.212002955613553    11.3100000000063     11.30999999999999      6.304e-12
2.799999999999999     -0.03411336553416398     4.979483148557       10.64000000404555    10.63999999999999      4.046e-09
2.699999999999999      0.002229349696170169    4.749903886596367     9.989999999999235    9.989999999999993     -7.58e-13
2.599999999999999      0.04064183933210896     4.523319895799798     9.359999999998582    9.359999999999992     -1.41e-12
2.499999999999999      0.08133637080178369     4.299788963018781     8.750000000001108    8.749999999999993     1.116e-12
2.399999999999999      0.1245572014856252      4.07937196231825      8.159999999995687    8.159999999999991    -4.305e-12
2.299999999999998      0.1705870546326995      3.862133188725139     7.590000000005771    7.589999999999992      5.78e-12
2.199999999999998      0.2197552692584715      3.648140684327197     7.040000000005112    7.039999999999991      5.12e-12
2.099999999999998      0.2724481590443035      3.43746660924917      6.510000000004961    6.509999999999991      4.97e-12
1.999999999999998      0.3291223221651317      3.230187665721837     6.000000000002764    5.999999999999991     2.773e-12
1.899999999999998      0.3903219461201083      3.026385585337975     5.509999999994411    5.509999999999991     -5.58e-12
1.799999999999998      0.4567016008063509      2.826147692182384     5.040000000000555    5.039999999999991     5.641e-13
1.699999999999998      0.5290566937088022      2.629567557541728     4.589999999999334    4.589999999999991    -6.573e-13
1.599999999999998      0.6083648146507388      2.436745766287358     4.159999999997735    4.159999999999991    -2.256e-12
1.499999999999998      0.6958428672560889      2.247790820483765     3.750000000000785    3.749999999999991     7.936e-13
1.399999999999998      0.7930276008088424      2.062820213392563     3.359999999998415    3.359999999999991    -1.576e-12
1.299999999999998      0.9018917081211759      1.881961717357213     2.989999999999875    2.989999999999991    -1.168e-13
1.199999999999998      1.025015540937898       1.705354943301408     2.639999999997569    2.639999999999992    -2.422e-12
1.099999999999997      1.165848685499068       1.533153249914835     2.309999999999998    2.309999999999992     6.519e-15
0.9999999999999974     1.329122322165132       1.365526109632838     1.999999999999481    1.999999999999992     -5.11e-13
0.8999999999999975     1.521526085277808       1.202662081575776     1.709999999999741    1.709999999999993    -2.523e-13
0.7999999999999975     1.752874096417759       1.044772606288851     1.440000000000155    1.439999999999994     1.619e-13
0.6999999999999975     2.038235616381106       0.8920969377256853    1.189999999999717    1.189999999999994    -2.774e-13
0.5999999999999975     2.402125463067824       0.7449086888890672    0.9599999999997391   0.9599999999999945   -2.555e-13
0.4999999999999976     2.887563844128977       0.6035247351814985    0.7499999999997691   0.7499999999999951    -2.26e-13
0.3999999999999976     3.578318349061931       0.4683176837021201    0.5599999999999967   0.5599999999999956    1.079e-15
0.2999999999999976     4.664365697417611       0.3397339639146319    0.390000000000061    0.3899999999999962    6.486e-14
0.1999999999999976     6.698404497689143       0.2183212373542653    0.2399999999999996   0.2399999999999966    2.968e-15
0.09999999999999759   12.34957156441279        0.1047722467573414    0.1100000000000074   0.1099999999999971    1.029e-14
         x               alpha(x)              f(x)                f(f(x))                 x + x^2       f(f(x))- (x+x^2)   
[email protected]:~$ 

=============================

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

// file named abel_any_function.cc

//   lines after double slashes are comments

//   also on a line with a command, anything after//is  commentary

//  on a Unix or Linux computer,  compile using line


//       g++ -o abel_any_function   abel_any_function.cc -lm 

//  then run the program  with

//  ./abel_any_function  



double any_function(double x)
{
   return    ( -1.0 + sqrt( 1.0 + 4 * x )  )/2.0;
}



double abel(double x)
{
    double eps = 0.000000001;
   eps = eps/100000.0;
  double f = x ;
  double g = 1.0, g_old = 1000.0, diff = 1.0 ;
 for( int n = 0; n <= 100000  && diff >= eps ; ++n)
 {


//   g =  3.0/(f * f)  +  6.0 * log(f)/5.0 +  79.0 * f * f/ 1050.0 + 29.0 * f * f * f * f /2625.0   - n;

double f2 = f * f;
double f3 = f * f2;
double f4 = f * f3;
double f5 = f * f4;
double f6 = f * f5;
double f7 = f * f6;
double f8 = f * f7;
double f9 = f * f8;
double f10 = f * f9;


    g =   1.0/f - log(1.0 * f) + f/2.0 - f2/3.0 + 13.0 * f3/36.0 - 113.0 * f4/240.0 + 1187.0 * f5/1800.0 - 877.0 * f6/945.0 + 14569.0 * f7/11760.0 + 532963.0 * f8/24192.0  + 1819157.0 * f9/1360800.0  - 70379.0 * f10/47250.0    - n ; 

   diff = fabs(g - g_old);
// cout.precision(16);
// cout << n << "  " << x  << "  "  << f  << "  " << g <<  "   " << diff << endl ;
   f = any_function ( 1.0 * f); 
   g_old = g;
 }
  return g;
}//abel



//       g++ -o abel_any_function   abel_any_function.cc -lm 


double inverse_abel(double x)
{
  int count = 0;
  double eps = 0.000000001;
     eps = eps/100000.0;
  double middle, left, right;
  if( x < -10.0) return 0.0;
  else
  {
     left = 0.01;
    right = 110.0 ;
    middle = ( left + right)/2.0; 
    double left_val = abel(left) , right_val = abel(right), middle_val = abel(middle);
    while ( right - left > eps)
    {
      if (middle_val < x )
      {
        right = middle;
        middle = ( left + right)/2.0;
         right_val = abel(right);
        middle_val = abel(middle);
      }
      else
      {
        left = middle;
        middle = ( left + right)/2.0;
         left_val = abel(left);
        middle_val = abel(middle);
      }
      count++;
  //  cout << count;
   // cout.precision(16);
   // cout << "   " << x << "  " << middle << endl; 
    }//while not accurate
  } //else in range

  return  middle;
}//inverse_abel

double half_iterate(double x)
{
  return inverse_abel( -1/2.0 + abel(x)  );
}



int main()
{
   double my_pi = 4.0 * atan(1.0) ;
   double phlegm = 5.0;
 //cout << my_pi/2.0 << "   " <<  abel( my_pi/2.0) << endl;
// cout << my_pi/2.0 << "   " <<   half_iterate( my_pi/2.0) << endl;





cout <<  "         x               alpha(x)              f(x)                f(f(x))                g( x)               f(f(x))- g( x) " << endl;



  for( double x =   4.0; x >= 0.005 ; x -= 0.1)
  {
//     cerr << x << endl;

cout.precision(16);
    cout << x << "   " <<  abel( x) << "    "  << half_iterate( x) << "    "  << half_iterate(half_iterate( x)) << "    " <<  x + x * x   ;



cout.precision(4);
 cout << "    "  << half_iterate(half_iterate( x)) -  x - x * x   << endl;
// cout <<  inverse_abel(abel(x))  -  x   << endl;
  }

cout <<  "         x               alpha(x)              f(x)                f(f(x))                g( x)               f(f(x))- g( x) " << endl;


  return 0 ;
}   // end of main


//       g++ -o abel_any_function   abel_any_function.cc -lm 

===========================

Легко було почати збільшення $ x $ і запитати, як високий $ n $ повинен бути при оцінці межі з $ x_n $ для $ alpha. з поривами в 100-і роки.

==================

x               alpha  (x)           
1   count  54  alpha  1.329122322165132
10   count  58  alpha  -0.9983537653455241
100   count  68  alpha  -1.968971136021889
1000   count  66  alpha  -2.552472649197334
10000   count  63  alpha  -2.967413457600026
100000   count  61  alpha  -3.289334360104431
1000000   count  63  alpha  -3.552368279442522
10000000   count  71  alpha  -3.774760625378939
100000000   count  60  alpha  -3.967405626083742
1000000000   count  63  alpha  -4.137330604148414
10000000000   count  71  alpha  -4.28933373355295
100000000000   count  61  alpha  -4.426837311274541
1000000000000   count  61  alpha  -4.552368227229554
10000000000000   count  320  alpha  -4.667845444457483
100000000000000   count  72  alpha  -4.774760620903448
1000000000000000   count  67  alpha  -4.874296255743502
1e+16   count  65  alpha  -4.967405625692374
1e+17   count  71  alpha  -5.05486844668566
1e+18   count  65  alpha  -5.137330604113803
1e+19   count  64  alpha  -5.215333128877907
1e+20   count  61  alpha  -5.289333733549392
1e+21   count  66  alpha  -5.359723089041725
1e+22   count  62  alpha  -5.426837311274541
9.999999999999999e+22   count  65  alpha  -5.49096766961696
1e+24   count  62  alpha  -5.552368227229554
9.999999999999999e+24   count  68  alpha  -5.611261920378335
9.999999999999999e+25   count  321  alpha  -5.667845444457483
9.999999999999999e+26   count  65  alpha  -5.722293217232147
1e+28   count  73  alpha  -5.774760620903448
9.999999999999999e+28   count  69  alpha  -5.825386674958394
9.999999999999999e+29   count  68  alpha  -5.874296255743502

============

0
додано
Я зіткнувся з різницею між коефіцієнтами, як я їх обчислив, і тим, які ви використовуєте у вашій "abel" -функції для g . Див. Таблицю в новому вікні відповіді ("g-коефіцієнти").
додано Автор Hobo, джерело

П'ятниця: я граю з C ++. Готфрід сказав, що мої коефіцієнти для $ alpha $ коректні до $ x ^ 7, $ так я зробив це, з $ x $ зростає на $ 1/10 $ до 10. Другий стовпець - $ alpha, $ наступний стовпець $ g (x) = альфа ^ {- 1} ліва (- frac {1} {2} + альфа (x) право), $ остаточний стовпець $ g (g (x)) $ що дуже добре порівнюється з $ x + x ^ 2, $, як ви можете бачити з інтегралом $ x

=============

   x               alpha(x)             g(x)             g(g(x)) 
  0.1        12.34957156441259  0.1047722467573381  0.1099999999999914
  0.2        6.698404497688887  0.2183212373542643  0.2400000000000055
  0.3        4.664365697417439  0.3397339639146599  0.3900000000000158
  0.4        3.578318349061967  0.4683176837021162  0.5599999999999985
  0.5        2.887563844129021  0.6035247351815045   0.749999999999915
  0.6        2.402125463067622  0.7449086888889984  0.9600000000000521
  0.7        2.038235616380761  0.8920969377256855    1.19000000000007
  0.8        1.752874096417655   1.044772606289162   1.439999999999584
  0.9        1.521526085277657   1.202662081575782   1.710000000000312
    1        1.329122322164689   1.365526109633105   2.000000000000555
  1.1        1.165848685498792   1.533153249914976   2.309999999999806
  1.2        1.025015540937656   1.705354943302132   2.640000000000098
  1.3       0.9018917081212492    1.88196171735636   2.990000000000656
  1.4       0.7930276008088036   2.062820213391945   3.360000000000213
  1.5       0.6958428672559145   2.247790820483585   3.750000000000525
  1.6       0.6083648146504035    2.43674576628842   4.159999999999291
  1.7       0.5290566937086119   2.629567557542234   4.590000000000048
  1.8       0.4567016008063152   2.826147692182283   5.039999999999818
  1.9       0.3903219461197646   3.026385585339394   5.510000000000232
    2       0.3291223221646891   3.230187665722821   5.999999999999915
  2.1       0.2724481590442369   3.437466609251579   6.510000000001385
  2.2       0.2197552692584598   3.648140684326019   7.039999999999509
  2.3       0.1705870546325254   3.862133188724311   7.589999999999385
  2.4        0.124557201485502   4.079371962317376   8.159999999999702
  2.5      0.08133637080242444   4.299788963015828   8.750000000000881
  2.6      0.04064183933224629    4.52331989579711   9.359999999998582
  2.7     0.002229349696022672   4.749903886596474   9.989999999999988
  2.8     -0.03411336553461632   4.979483194345788   10.63999999999846
  2.9      -0.0685717768879244   5.212002955613551   11.30999999999516
    3       -0.101308757652073   5.447410957287675    12.0000000000025
  3.1      -0.1324680068818291   5.685657433445996   12.71000000000289
  3.2      -0.1621768597702231   5.926694883244602   13.43999999999888
  3.3      -0.1905486107381383   6.170477907090149   14.18999999999903
  3.4       -0.217684445944716   6.416963058834378   14.95999999999939
  3.5      -0.2436750604476325   6.666108712005801   15.75000000000014
  3.6      -0.2686020190349739   6.917874938477105   16.56000000000593
  3.7      -0.2925389073554089   7.172223398030425   17.38999999999782
  3.8      -0.3155523104805156   7.429117237690733   18.24000000001208
  3.9      -0.3377026486412144   7.688520999701667   19.11000000000036
    4       -0.359044894127126   7.950400537216488   20.00000000000308
  4.1       -0.379629188807631   8.214722936914129   20.90999999999864
  4.2       -0.399501378150432   8.481456447790578   21.84000000000423
  4.3      -0.4187034747632079   8.750570415576934   22.79000000000375
  4.4      -0.4372740621842076   9.022035222145501   23.75999999999652
  4.5      -0.4552486478217184   9.295822229482983     24.749999999992
  4.6      -0.4726599724392348   9.571903727807236   25.75999999998796
  4.7       -0.489538282369249   9.850252887366977   26.78999999998784
  4.8       -0.505911569651961    10.1308437137012   27.83999999997848
  4.9      -0.5218057844694055   10.41365100596458   28.91000000000528
    5      -0.5372450235774485   10.69865031810888    30.0000000000268
  5.1      -0.5522516978769516   10.98581792261065   31.10999999998392
  5.2      -0.5668466818022829   11.27513077665873   32.23999999999783
  5.3      -0.5810494468112958   11.56656649034594   33.38999999998659
  5.4      -0.5948781809449553   11.86010329714074    34.5599999999896
  5.5      -0.6083498961375551   12.15572002587118    35.7499999999838
  5.6      -0.6214805247424423   12.45339607470347   36.96000000000471
  5.7      -0.6342850065223927   12.75311138645592   38.18999999999465
  5.8      -0.6467773672082882   13.05484642552751   39.44000000003192
  5.9      -0.6589707895703519   13.35858215607981   40.71000000000579
    6      -0.6708776778353109   13.66430002151068   41.99999999994029
  6.1       -0.682509716169434   13.97198192501955   43.30999999997566
  6.2      -0.6938779218702816   14.28161021134496   44.63999999997695
  6.3      -0.7049926938174378   14.59316764936057   45.99000000000397
  6.4      -0.7158638566799534   14.90663741576357   47.36000000003547
  6.5      -0.7265007013094341   15.22200307949671   48.74999999993412
  6.6      -0.7369120217049638   15.53924858705377   50.15999999998954
  6.7      -0.7471061488852925   15.85835824845936   51.58999999998022
  6.8      -0.7570909819765037   16.17931672414124   53.03999999999729
  6.9       -0.766874016772743   16.50210901219836   54.51000000000624
    7      -0.7764623720190872   16.82672043645934   55.99999999936385
  7.1      -0.7858628136233136   17.15313663519212   57.51000000001224
  7.2      -0.7950817769841955   17.48134355009424   59.04000000000003
  7.3      -0.8041253876168806    17.8113274160783   60.58999999997775
  7.4      -0.8129994802177363   18.14307475139146   62.15999999999015
  7.5      -0.8217096163081531   18.47657234815847   63.74999999999534
  7.6      -0.8302611005888889   18.81180726349173   65.36000000004154
  7.7      -0.8386589961029491   19.14876681089618   66.98999999994771
  7.8      -0.8469081383179831    19.4874385520576    68.6400000000553
  7.9      -0.8550131482122515   19.82781028897663   70.30999999995979
    8      -0.8629784444526734    20.1698700565776   71.99999999990217
  8.1      -0.8708082547322369   20.51360611552482   73.70999999996329
  8.2      -0.8785066263364341   20.85900694520567   75.44000000000185
  8.3      -0.8860774360049619   21.20606123733967   77.19000000000509
  8.4      -0.8935243991361352   21.55475788956775   78.96000000013811
  8.5      -0.9008510783898448   21.90508599935687   80.75000000002262
  8.6      -0.9080608917366347   22.25703485834448   82.55999999999338
  8.7      -0.9151571199876521   22.61059394661323   84.38999999996526
  8.8      -0.9221429138533149   22.96575292741191   86.23999999995436
  8.9      -0.9290213005570148    23.3225016419572   88.10999999998333
    9      -0.9357951900460741   23.68083010453317   90.00000000007395
  9.1      -0.9424673808176133   24.04072849765743   91.91000000003487
  9.2      -0.9490405653974854   24.40218716764626   93.84000000000023
  9.3      -0.9555173354899633    24.7651966200477   95.78999999998206
  9.4      -0.9619001868221458   25.12974751543187   97.76000000002301
  9.5       -0.968191523710482   25.49583066539916    99.7500000000214
  9.6       -0.974393663357775   25.86343702851241   101.7600000000278
  9.7      -0.9805088399074678   26.23255770657607   103.7900000000062
  9.8      -0.9865392082677702   26.60318394084462   105.8399999998493
  9.9      -0.9924868477235212   26.97530710881871   107.9100000000317
   10      -0.9983537653457113   27.34891872036212   109.9999999999982
   x               alpha(x)             g( x)            g(g( x)) 

=============

0
додано
Ах, так, спасибі! Точність, таким чином, приблизно 1e-10. Чому ви працюєте з c ++ і "подвійною" точністю? Ви хотіли б отримати мій Pari/GP-скрипт, де ви можете без клопоту використовувати внутрішню точність до 200, 400 цифр точність, яка призводить потім до 60 або 70 правильних цифр для результатів? (Ви також можете скористатися моєю електронною поштою, але зауважте, що наступного тижня наші курси починаються, і, ймовірно, у вас буде менше часу (і терпіння) протягом перших двох-трьох тижнів)
додано Автор Hobo, джерело
Як ви знаєте, що існує параболічне рішення abel, чий зворотний абель є цілим?
додано Автор aldrinleal, джерело
@GottfriedHelms, так, я хотів би побачити це. Я також повинен спробувати побачити, що я можу зробити з GMP в C ++. Що стосується вибору, я добре знаю C ++. З Pari. Я знаю, як робити інтерактивні сесії, але ніколи не вдавалося виконати реальну програму. Я бачу, що, якщо короткий ви можете відобразити речі Pari тут, але електронна пошта може бути більш надійною для чогось довшого, мої адреси можна знайти (якщо вони не відображаються в моєму профілі) шляхом пошуку з прізвищем на ams.org/cml
додано Автор A.D., джерело
@SheldonL Допускається, щоб віднімання відповідного $ log x $ терміна з $ alpha $ дало щось мероморфне у початку, хоча відомо, що сама $ alpha $ може бути такою, коли первісна функція є певним Mobius трансформації. Це парафраза Thm 8.5.3 на сторінці 347 KCG, що стосується рішення $ lambda (x) $ зв'язаного рівняння Юлії.
додано Автор A.D., джерело
Я не отримав KCG, але я провів деякий час, граючи з формальними силовими рядами для $ alpha (x) $, і мої результати відповідають першому 10 коефіцієнтам Gottfried з коефіцієнтом x ^ 11 = -14763581/109771200. Я генерував 25 термінів рівняння abel, і обчислення відповідали моїм попереднім результатам до 46 десяткових цифр, коли x <= 0,01. Цікаво, що мій алгоритм для формальних силових рядів відрізняється від алгоритму, який буде опубліковано раніше, деталі наступного.
додано Автор Sheldon L, джерело
@mick Параболічне рішення є тим, що Віл Джагі дав формальне рішення для ряду потужностей, і його зворотна функція абеля діє як 1/z в лівій половині комплексної площини. Тоді, враховуючи, що ітераційна функція є кінцевою серією, (x ^ 2 + x), повторювані скінченні функції не дають особливості. Я не стверджую, що можу довести це, хоча я думаю, що це висвітлено в книзі Мілнора.
додано Автор Sheldon L, джерело
Існує поняття суперпритягування фіксованої точки на нескінченності (або нулю), для ітерацій x ^ 2. Для x ^ 2 + c існує супер-притягує фіксовану точку на нескінченності, і $ alpha_ {alt} $ для x ^ 2 + 0.25 у моїй відповіді вище відповідає функції abel/fatou від суперпритягуючої фіксованої точки на нескінченності , що я думаю, що робить половина ітерації красиво поводиться (впорядковано), так як тоді $ ета (z) $ сходиться до постійної. Отже, для c = 0.25 існує як параболічний абелевий розчин, $ alfa ^ {- 1} $ якого є цілим, так і інше добре визначене аналітичне $ alpha_ {alt} ^ {- 1} $ з фрактальною границею.
додано Автор Sheldon L, джерело
Якщо ми знаємо, що форма рішення є $ alpha (x) = - 1/x + log (x) + sum_ {n з інтенсивними} a_n x ^ n $, і ми знаємо, що $ alfa (\ t x + x ^ 2) = альфа (x) -1 $ Потім він може бути розв'язаний термін за терміном без інтеграції або recipricals. По-перше, $ -1/(x + x ^ 2) = -1/x + 1/(x + 1) $, і $ log (x + x ^ 2) = log (x) + \ t +1) $. Тоді $ alfa (x + x ^ 2) + 1 - (x) = -1/(x + 1) - log (x + 1) + sum_ {n затяжних} -a_n x ^ n + суми {{n інтенсивних} a_n (x ^ 2 + x) ^ n $, які можуть бути вирішені терміном за терміном, не вимагаючи reciprical розрахунку.
додано Автор Sheldon L, джерело