Як знайти ядро ​​складу функцій?

Функції $ g $ і $ f $ є лінійними і ін'єктивними. Як я можу знайти ядро ​​$ g \ t

Я прошу, тому що я хочу довести, що $ ker (f) = ker (g \ t

4

5 Відповіді

Підказка

Якщо ви маєте на увазі функції: "ендоморфізми", то використовуйте (довести) ці результати:

  • $ f $ є ін'єкційним iff $. ker f = {0} $
  • якщо $ f $ і $ g $ є ін'єкційними, то $ g circ f $ також є ін'єкційним
3
додано
Ендоморфізм є специфічним для функцій між тим самим простором, я вважаю. Але це стосується будь-яких функцій між векторними просторами (де композиція визначається між двома функціями).
додано Автор Martin Duys, джерело
Так, я повинен був зробити це ясно.
додано Автор Martin Duys, джерело
Щоб бути більш конкретними, слід сказати, що ендоморфізм є лінійним застосуванням між тим же простором, але я згоден з вашим коментарем, цей результат діє з лінійними перетвореннями.
додано Автор Saeed Ansari, джерело

Це може бути перебільшенням, але існує точна послідовність ядра cokernel, яка дуже корисна в таких ситуаціях.

Якщо ми маємо склад $ A, то ліворуч {f} B \ t

$ 0 - ker (f) - ker (gf) - ker (g) - coker (f) - coker (gf) - coker (g) - 0 $

Отже, якщо $ ker (g) = 0 $, то $ ker (f) = ker (gf) $.

2
додано
Хто сказав, що $ ker (g) = 0 $?
додано Автор Marc van Leeuwen, джерело

Якщо $ g $ є ін'єкційним, то $ ker (f) = \ _ ker (gf) $ є звичайно істинним. Щоб довести, що два множини рівні, ви показуєте, що кожен міститься в іншому. Наприклад, якщо $ x в ker (f) $, то $ f (x) = 0 $. Але тоді $ gf (x) = g (0) = 0 $, так що $ x в ker (gf) $. Це доводить $ \ (f) subseteq (gf) $. Я залишу вам інший напрямок (цей напрямок використовує те, що $ g $ є ін'єкційним).

Отже, якщо $ g $ є ін'єкційним $ ker (gf) = ker (f) $ і якщо $ f $ є ін'єкційним, то $ ker (f) = 0 $, так що якщо обидва ін'єктивно, то $ \ t 0 $. Це, звичайно, має сенс, тому що композиція двох ін'єктивних карт знову є ін'єкційною і, отже, має тривіальне ядро.

1
додано

Отримано $ def: Im {операторне ім'я {Im}} ker (g ось f) = {v середнє g (f (x)) = 0 = = {v \ t в середині f (x) в Im (f) cap (g), = = f ^ {- 1} [Im (f) cap = g g] $ у той час як $ (r); f) = f ^ {- 1} [{0}] $. Таким чином, $ Im (f) cap (g) = {0} $ є достатньою умовою для того, щоб можна було зробити висновок, що $ r (g \ t звичайно не дійсний загалом , як ви, здається, пропонуєте запитання, просто візьміть $ f = I $, щоб переконати себе в цьому). Можна бачити, що згадана умова є також необхідною , щоб отримати $ ker (g, circ) f = = (f) $: якщо б у $ 0 \ t cap (g) $ і це означає (тому що $ w в Im (f) $) існує $ v $ з $ f (v) = w $; для цього вектора $ v в (g \ t

1
додано

Подумайте, що означає бути ін'єкційним і що означає мати нетривіальне ядро. Її неможливо мати обидва. Отже, якщо ядра тривіальні, то $ ker (f) = {0} $ і $ ker (g \ t в обох є той же вектор $ 0 $, тобто, що вони знаходяться в одному і тому ж векторному просторі.

0
додано
що швидше заплутує мою відповідь. Дякуємо, що вказали це!
додано Автор user24142, джерело