Розуміння теорем про склад функцій

Розглянемо нижче дві теореми про Injective і Surjective відображення

Теорема 1 : Якщо $ f: A - справа B $ і $ g: B - Ст - це дві відображення, такі, що $ g, g, f: A, с $ є ін'єкційним, тоді $ f $ є ін'єкційним      

Теорема 2 : Якщо $ f: A - Стрілка B $ і $ g: B - Стрілка C $ - дві відображення, такі, що $ g, g, f: A - с $ є сюръективним, тоді $ g $ є сюръективним.

  1. Theorem 1 signifies that in order to $g \,\circ\,f$ to be injective it is not necessary that $g$ is injective. But as you can see from the below figure $g \,\circ\,f$ is not injective, If $g$ is not injective. Theorem 1

  2. Theorem 2 signifies that in order to $g \,\circ\,f$ to be surjective it is not necessary that $f$ is surjective. But as you can see from the below figure $g \,\circ\,f$ is not surjective, If $f$ is not surjective.

    Theorem 2

Я не отримую цих теорем. Хто-небудь може пояснити, що сказано вище.

1

7 Відповіді

Для теореми 1 розглянемо $ A = {1,2}, B = {3,4,5}, C = {6,7,8} $, і тепер

  • Нехай $ f = {(1,3), (2,5)} $, що є ін'єкційним
  • Нехай $ g = {(3,6), (4,6), (5,7) $ $, що є не ін'єкційним
  • Тоді $ g = f = {(1,6), (2,7)} $, і є ін'єкційним.

Таким чином, $ g circ f $ може бути ін'єкційним, коли $ g $ не є.

For distinctness to be preserved on mapping $A\to C$ the mapping of $A\to B$ must preserve distinctness.   However, the mapping from $B\to C$ need not preserve distinctness except among the subset of elements that is the image $f(A)$.   (That is, our $g$ need not be injective if $f$ is not surjective).

Theorem 1 is that if we know that $g\circ f$ is injective, that guarantees that $f$ is injective.   Other properties of $f$ and $g$ are not guaranteed by that knowledge.


Аналогічно для теореми 2. Розглянемо $ A = {1,2}, B = {3,4,5,6}, C = {7,8,9} $

  • Нехай $ f = \ _ (1,3), (1,4), (2,5) \ _ $, що є не сюрєективним
  • Нехай $ g = {(3,7), (4,8), (5,9), (6,9) \ t
  • Тоді $ g = f {\ _ (1,7), (1,8), (2,9) \ _ $, і це є сюръективним.

Таким чином, можливо для того, щоб $ g \ t

Any $g\circ f$ is surjective if every element in $C$ is mapped to by an element in $A$.   This requires that every element is $C$ is mapped to by some elements in $B$ of which at least one is mapped to by an element in $A$; it does not require every element in $B$ to be mapped to by an element in $A$.

Таким чином, знаючи, що $ f цир g $ є сюръективним, гарантує, що $ g $ є сюръективним.

2
додано

Для теореми 1 розглянемо $ A = {1,2}, B = {3,4,5}, C = {6,7,8} $, і тепер

  • Нехай $ f = {(1,3), (2,5)} $, що є ін'єкційним
  • Нехай $ g = {(3,6), (4,6), (5,7) $ $, що є не ін'єкційним
  • Тоді $ g = f = {(1,6), (2,7)} $, і є ін'єкційним.

Таким чином, $ g circ f $ може бути ін'єкційним, коли $ g $ не є.

For distinctness to be preserved on mapping $A\to C$ the mapping of $A\to B$ must preserve distinctness.   However, the mapping from $B\to C$ need not preserve distinctness except among the subset of elements that is the image $f(A)$.   (That is, our $g$ need not be injective if $f$ is not surjective).

Theorem 1 is that if we know that $g\circ f$ is injective, that guarantees that $f$ is injective.   Other properties of $f$ and $g$ are not guaranteed by that knowledge.


Аналогічно для теореми 2. Розглянемо $ A = {1,2}, B = {3,4,5,6}, C = {7,8,9} $

  • Нехай $ f = \ _ (1,3), (1,4), (2,5) \ _ $, що є не сюрєективним
  • Нехай $ g = {(3,7), (4,8), (5,9), (6,9) \ t
  • Тоді $ g = f {\ _ (1,7), (1,8), (2,9) \ _ $, і це є сюръективним.

Таким чином, можливо для того, щоб $ g \ t

Any $g\circ f$ is surjective if every element in $C$ is mapped to by an element in $A$.   This requires that every element is $C$ is mapped to by some elements in $B$ of which at least one is mapped to by an element in $A$; it does not require every element in $B$ to be mapped to by an element in $A$.

Таким чином, знаючи, що $ f цир g $ є сюръективним, гарантує, що $ g $ є сюръективним.

2
додано

Якщо $ g circ f $ є ін'єкційним, то це означає, що різні $ a_1, a_2 $ в $ A $ йдуть до різних значень $ (g) f (a_1) $ і $ (g \ t у $ C $. Ці значення за визначенням дорівнюють $ g (f (a_1)) $ і $ g (f (a_2)) $. Це означає, що $ f $ повинна вже зіставити $ a_1 $ і $ a_2 $ з різними значеннями в $ B $ (інакше їх загальне $ g $ значення ($ g (f (a_1)) = g (f (a_2)) $) було б те ж саме, що його немає). Таким чином, $ f $ вже повинна відображати різні $ a_1, a_2 $ на різні значення, або $ f $ ін'єктивно. Для $ g $ можна лише зробити висновок, що для точок у $ f [A] $ (фактичні значення, досягнуті $ f $) $ g $ є ін'єкційним, але ми не можемо сказати нічого про точки поза $ f [A] $.

Якщо $ g окружність f $ є сюръективним, це означає, що кожний $ c в C $ досягається $ g цирку f $, тому в A $ існує деяка $ a з $ c = (g \ t (a) = g (f (a)) $. Але це означає, що $ g $ досягає всіх $ c $, так як ми знайшли в B $ точку $ f (a), яка її відображає. Таким чином, $ g $ є навіть сюръективним, коли він обмежений лише точками $ f [A] $.

Що стосується зображень: перший показує, що $ g $ не повинно бути ін'єкційним (у той час як $ f $ є), а $ g - округ f $ є ін'єкційним, а другий показує, що $ f $ не потрібно бути surjective (в той час як $ g $ є) і $ g circ f $ є surjective. Отже, ці картини показують, що за $ f $ ін'єктивно для 1 і $ g $ сюръективно для 2, не можна сказати, що інша функція є також ін'єкційною (у 1) або сюръективною (у 2).

0
додано

Якщо $ g circ f $ є ін'єкційним, то це означає, що різні $ a_1, a_2 $ в $ A $ йдуть до різних значень $ (g) f (a_1) $ і $ (g \ t у $ C $. Ці значення за визначенням дорівнюють $ g (f (a_1)) $ і $ g (f (a_2)) $. Це означає, що $ f $ повинна вже зіставити $ a_1 $ і $ a_2 $ з різними значеннями в $ B $ (інакше їх загальне $ g $ значення ($ g (f (a_1)) = g (f (a_2)) $) було б те ж саме, що його немає). Таким чином, $ f $ вже повинна відображати різні $ a_1, a_2 $ на різні значення, або $ f $ ін'єктивно. Для $ g $ можна лише зробити висновок, що для точок у $ f [A] $ (фактичні значення, досягнуті $ f $) $ g $ є ін'єкційним, але ми не можемо сказати нічого про точки поза $ f [A] $.

Якщо $ g окружність f $ є сюръективним, це означає, що кожний $ c в C $ досягається $ g цирку f $, тому в A $ існує деяка $ a з $ c = (g \ t (a) = g (f (a)) $. Але це означає, що $ g $ досягає всіх $ c $, так як ми знайшли в B $ точку $ f (a), яка її відображає. Таким чином, $ g $ є навіть сюръективним, коли він обмежений лише точками $ f [A] $.

Що стосується зображень: перший показує, що $ g $ не повинно бути ін'єкційним (у той час як $ f $ є), а $ g - округ f $ є ін'єкційним, а другий показує, що $ f $ не потрібно бути surjective (в той час як $ g $ є) і $ g circ f $ є surjective. Отже, ці картини показують, що за $ f $ ін'єктивно для 1 і $ g $ сюръективно для 2, не можна сказати, що інша функція є також ін'єкційною (у 1) або сюръективною (у 2).

0
додано

Розгляньте дві незалежні операції: (i) покласти речі в поле (це $ f $) і (ii) доставити цілі поля людям (це $ g $) . Ми можемо складати ці операції: тобто виконувати (ii) після (i) (тобто $ g). Якщо вам сказали, що дві різні речі завжди доставляються до двох різних осіб. (тобто $ g circ f $ є ін'єкційним), то з цього випливає, що два пункти ніколи не були покладені в одну коробку в першу чергу.

Можна з'ясувати подібний сценарій для об'єктивності.

0
додано

Для теореми 2. Не можна розглядати присяги, які не починаються з $ A $, оскільки $ A $ є областю вашої складової функції.

0
додано

Для теореми 2. Не можна розглядати присяги, які не починаються з $ A $, оскільки $ A $ є областю вашої складової функції.

0
додано