Арифметична динаміка і динаміка на просторах модулів

Наступне питання - це більше запит на вказівки на відповідну літературу з вступного матеріалу для арифметичної динаміки та динаміки на просторах модулів.

У своїй дисертації я працював переважно з плавними динамічними системами, і багато з класом динамічних систем, заданим ітерацією певних поліноміальних карт на гладких двовимірних (насправді алгебраїчних) підмноговидностях $ mathbb {R} ^ 3 $. Природно, я також дивився на голоморфну ​​динаміку. У якийсь момент я почав задавати питання (не пов'язані з моєю поточною роботою) з тими динамічними системами, які, здається, краще сформульовані в алгебраїчному контексті, а не аналітичні, теоретико-вимірювальні або диференційно-геометричні (про які я добре знаю) з). У результаті я відкрив поле (яке, здається, активно розвивається) арифметичної динаміки і (дещо пов'язане, але не зовсім, гадаю) динаміку на просторах модулів. Я шукав в Інтернеті якийсь вступний матеріал, тільки щоб знайти, що література є досить дефіцитною, і мені не вдалося знайти опис основних проблем або припущень, які керують полем.

Запитання:

1) Якими будуть хороші посилання для деяких фундаментальних результатів в арифметичній динаміці?

2) Які питання цікавлять арифметичну динаміку? Чи є якісь головні активно досліджені припущення? Що є рушійною сферою? Чи є якісь міцні зв'язки з відомими проблемами в інших областях?

3) Чи існує якась вступна література, що містить пояснювальну природу?

4) Питання (1) - (3) застосовані до динаміки на просторах модулів (я дійсно не знаю багато про цю область, крім фрази "динаміка на просторах модулів", яку я часто зустрічаю останнім часом).

Note: Not sure whether I should make this a community wiki; please advise.

15
Швидка відповідь на (2) полягає в тому, що існує ряд припущень, які є аналогами з арифметичної геометрії, які допомагають керувати полем арифметичної динаміки. До них відносяться динамічні аналоги (1) єдиної гіпотези обмеженості для кручення на абелевих многовидів; (2) Теорема Рейно на точках кручення на підмноговидностях абелевих многовидів; (3) Теорема Фальтінга (гіпотеза Морделла-Ланга) про раціональні точки на підмноговидностях абелевих многовидів. Замінити торсіонні точки з преперіодичними точками і групами Морделла-Вейля з орбітами, щоб отримати грубі аналоги, хоча є тонкощі.
додано Автор Alfred, джерело
Я хочу подякувати всім за коментарі та відповіді - всі відповіді дуже корисні та інформативні! Мені важко прийняти будь-яку відповідь (адже всі вони прийнятні), тому, можливо, я залишу це питання відкритим (сподіваюся, що це не дуже різко вступає в протиріччя з правилами МО).
додано Автор user39719, джерело

5 Відповіді

Окрім підручника випускника, про який Феліпе вже згадував,

The Arithmetic of Dynamical Systems, Springer-Verlag, GTM 241, 2007,

є також наступна монографія, що обговорює динамічно пов'язані простори модулів з алгебраїчної та арифметичної точок зору:

Moduli Spaces and Arithmetic Dynamics, CRM Monograph Series 30, AMS, 2012.

Що стосується списку посилань http://www.math.brown.edu/~jhs/ADSBIB.pdf про те, що Беньямін Дікман згадував, я оновлюю його один або два рази на рік, тому це досить актуально, але я не претендую на те, щоб вона була повною. Ви також можете спробувати виконати пошук MathSciNet і ArXiv для статей, номер класифікації яких становить 37Pxx, в яких будуть знайдені останні статті. Зокрема, є

37P45 = Динамічні системи та ергодична теорія/Арифметичні та неархімедові динамічні системи/Сім'ї та простори модулів.

4
додано
@Joe Silverman: Дякуємо! Це дійсно дуже корисно.
додано Автор user39719, джерело

Що стосується динаміки на просторах модулів (і роботах Авіла, Ескіна, Форні, Гуезеля, Юбера, Концевича, Макмуллена, Йокцоза, Ескіна, ...), то я б спочатку вивчив три семінари Бурбакі:

4
додано

Джозеф Сілверман склав довгий перелік статей і книг з арифметично-динамічних систем.

Він доступний безкоштовно тут . (Підключіть себе: я зробив це у # 82!)

4
додано
Добре, дякую!
додано Автор user39719, джерело
[Зауважте, що у зв'язку з оновленнями вище # 82 може змінюватися; мій маленький внесок зараз десь у сотнях ...
додано Автор Benjamin Dickman, джерело

To start with, there is Silverman's book: http://www.math.brown.edu/~jhs/ADSHome.html

There was a semester at ICERM last Spring devoted to arithmetic dynamics and the lectures at the workshops (including surveys, open problems, etc) were recorded as videos. Here is a link to the videos of one of the workshops (there is more at the ICERM website). http://icerm.brown.edu/html/videos/sp_s12_w2/

2
додано

Незважаючи на наступний огляд книги, він також є експозиційним вступом:

http://www.ams.org/bull/2009-46-01/S0273-0979-08-01216-0/S0273-0979-08-01216-0.pdf

БЮЛЕТЕНЬ (Нова серія) АМЕРИКАНСЬКЕ МАТЕМАТИЧНЕ СУСПІЛЬСТВО Том 46, № 1, січень 2009 р., Стор. 157–164 Огляди Роберта Л. Бенедетто Арифметика динамічних систем Джозефа Сілвермана

2
додано