Чому Джулія налаштована так просто? (квадратична родина)

Я хочу знати, чому, коли я дивлюся на множини Джулії квадратичної сім'ї, я бачу лише кінцеве число повторюваних моделей, а не їх кількість.

Моє питання полягає саме в взаємодії цих трьох теорем:

Theorem 1: Let $z_0\in\mathbb{C}$ be an repelling periodic point of the function $f_c:z\mapsto z^2+c$. Tan Lei proved in the 90s that the filled in Julia set $K_c$ is asymptotically $\lambda$-self-similar about $z_0$, where $\lambda$ denotes the multiplier of the orbit.

Theorem 2: (Iterated preimages are dense) Let $z\in J_c$, then the preimages of $z$ under the set $\cup_{n\in\mathbb{N}} ~ f^{-n}(z)$ is dense in $J_c$

Theorem 3: $J_c$ is the closure of repelling periodic points.

Розширимо теорему 1:
Технічно це означає, що множини $ (lambda ^ n a _ {- z_0} K_c) mathbb {D} _r $ підхід (в метриці Хаусдорфа компактних підмножин $ mathbb {C} $) множина $ X cap mathbb {D_r} $, де гранична модель $ X підмножина mathbb {C} $ є такою $ lambda $ -self-similar: $ X = lambda X $. Практично це означає, що, коли один масштабується в комп'ютер, що генерується $ K_c $ приблизно $ z_0 $, зображення стає, до всіх практичних цілей, самоподібним. Нова інформація не отримана, якщо знову збільшити масштаб у $ z_0 $.

Лей також довів, що $ K_c $ є асимптотично $ лямбда $ -само-подібним щодо прообразів $ z_0 $, з тією ж граничною моделлю $ X $, аж до обертання і масштабування. Це означає, що масштабування в кожній точці відштовхуючого циклу $ z_0 $ забезпечує в основному одне й те саме видовище, окрім можливого повертання, що робить масштабування в $ z_0 $. Не тільки, але прообрази $ z_0 $ щільні в $ J_ {c} $ (Теорема 2), що означає, що цей $ X $ шаблон можна побачити в усьому наборі Джулії.

Тепер давайте розглянемо іншу відлякуючу періодичну точку $ z_1 $. Lei говорить нам, що $ K_c $ буде асимптотично самоподібним щодо $ z_1 $ і всіх його попередніх зображень, з різним обмеженням $ Y $. Оскільки попередні зображення $ z_1 $ також щільні в $ J_c $, ми можемо спостерігати граничну модель $ Y $ у всьому $ J_c $.

Отже, апріорі до кожної періодичної орбіти, що відштовхується, має бути пов'язана модель обмеження, і кожна з цих обмежувальних моделей може бути різною. Проте , коли я дивлюся на комп'ютерно-створений набір Джулії, його частини, які асимптотично самоподібні, наближаються до одного кінцевого набір граничних моделей (до обертання).

Чому це так? Може, моє око не бачить різниці? Або комп'ютер не може генерувати всі деталі?

Чи це так, що граничні моделі є кінцевими?

Simple Julia zoom In this image (read like a comic strip), I zoom into the neighbourhood of a point, four times, then purposely "miss the center", and zoom onto a detail for four more times. The patterns that emerge are very similar. Are they the same?
This is perhaps one of the simplest Julia set, but the experience is

24
@AndreaDiBiagio Чи вважаєте ви, що будь-які питання з вашої публікації залишаються відкритими? Якщо ні, то, можливо, ви можете прийняти відповідь?
додано Автор isomorphismes, джерело
@AndreaDiBiagio До речі, результат про асимптотичну самоподібність в періодичних точках, що відлякують, випливає з класичної теореми Кенігса, за 100 років до роботи Тан Лей, що показує асимптотичну самоподібність у параметричній площині ( і що картина однакова в динамічній і параметричній площині).
додано Автор isomorphismes, джерело
@ LasseRempe-Gillen вибачте, що потрібно так довго. Я відволіклася. Ваша відповідь зробила це для мене.
додано Автор Remco Ros, джерело
@Polygnome це невеликий додаток iOS під назвою Fast Fractal, але я бачив подібні речі з JuliaTreck на MacOS
додано Автор Remco Ros, джерело
Точки на "хребті", де зустрічаються дві "долі", є прообразами тієї ж самої репелентної періодичної точки. (Подумайте про них як про аналогів раціональних чисел, чий знаменник - потужність 2).
додано Автор Eric Boberg, джерело
Яке програмне забезпечення ви використовували для створення цих фракталів?
додано Автор Flimm, джерело

5 Відповіді

Набори Юлії дуже тісно пов'язані з самоподібними множинами - кожен з них може розглядатися як інваріантний набір чогось подібного до ітеративної функціональної системи. Зокрема, множина Юлії $ f (z) = z ^ 2 + c $ є замиканням відлякуючих періодичних точок $ f $. Таким чином, має сенс, що сам набір Юлії повинен бути привабливим у зворотному порядку $ f $, і є дві такі зворотні: $$ f _ {; pm} ^ {- 1} (z) = pm sqrt {z-c}. $$

Насправді, $$ J = f _ {+} ^ {- 1} (J) f f {{1} ^ {- 1} (J) $$ так що вона виглядає майже самоподібно. Ось безкоштовна графіка, що ілюструє ідентифікатори для $ c = -1 $:

enter image description here

23
додано
Це хороший момент - він у певному сенсі схожий на криву Дракона, en.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve , але нелінійний. Подібність із en.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve цілком очевидна ... якщо є натуральна деформація, що інтерполює ці два фрактали ....
додано Автор RQDQ, джерело
Системи ітераційних функцій були введені з метою узагальнення цієї властивості квадратичних множин Юлії. Див. Приклад 14 в MR0799111 Barnsley, M.F .; Демко, С. Ітераційні системи функцій і глобальна конструкція фракталів. Proc. Рой. Soc. London Ser. A 399 (1985), ні. 1817, 243–275.
додано Автор Margaret Friedland, джерело
@MarkMcClure Ви отримуєте нескінченно багато різних обмежень масштабування в тому ж наборі Julia. Андреа має право очікувати цього, він просто не вибрав потрібні місця для збільшення (і, крім того, якщо модуль мультиплікатора не наблизиться до 1, то навряд чи можна виявити різні спіральні структури на око).
додано Автор isomorphismes, джерело
@MarkMcClure, здається, ви неправильно зрозуміли моє запитання. Я не здивований, що я бачу ті ж моделі знову і знову, це є наслідком T1 і T2, і можна зрозуміти завдяки вашій відповіді теж. Я дивуюся того, що так мало цих зразків. T1, T2, T3 змушують мене повірити, що оскільки існує безліч відбиваючих періодичних точок, кожен з яких робить свій внесок у самооцінку подібність $ J $, я повинен бути в змозі збільшити довільно багато різних форм!
додано Автор Remco Ros, джерело
Це дуже ясно, але не дає відповіді на моє запитання, яке стосується геометрії в малих і менших районах конкретних точок. Ваша відповідь дуже чітко звертається до глобальної квазісамостійної.
додано Автор Remco Ros, джерело
Ви здивовані, що ви не бачите всіх цих моделей в одному єдиному Юліа? Мені здається, що самоконформний характер набору означає, що це малоймовірно. Звичайно, ви можете знайти всі види спіральних візерунків, коли ви змінюєте $ c $. Ви також повинні зрозуміти, що є квадратичний набір Юлії, які не є обчислювальними - ніхто не знає, як вони виглядають! Таким чином, будь-яка відповідь є якось неповною
додано Автор Frank Groot, джерело
@AndreaDiBiagio Самоподібні набори мають саме те властивість, про яке ви просите, а саме, ті ж самі типи шаблонів з'являються знову і знову, коли ви збільшуєте масштаб. Отже, відповідь на запитання безпосередньо стосується вашого питання. Я визнаю, однак, що я скоріше припустив, що читач знає цю властивість самоподібних наборів, і я міг би зробити це більш чітким у цій посаді.
додано Автор Frank Groot, джерело

Щоб розширити мій коментар і підкреслити самоподібність наборів Джулії та кривої Дракона, є інтерполяція між ними.

enter image description here

Кожен кадр генерується двома складними функціями,

f1[z_, t_] := ((1.0 + I) z/2) t + (1 - t) (Sqrt[z + 0.9 I]);
f2[z_, t_] := (1 - (1.0 - I) z/2) t + (1 - t) (-Sqrt[ z + 0.9 I]);

де $ t $ йде від $ 0 $ до $ 1 $ в кадрах анімації. Для $ t = 0 $ ми маємо класичний фрактал Юлії для $ c = -0,9i $, і при $ t = 1 $ ми маємо два генератори для кривої Дракона.

Так що про кольори? Нехай $ J $ притягує набір. Тоді $ f_1 (C) $ є чорною множиною, а $ f_2 (C) $ - синім, а $ C = f_1 (C) f f2 (C) $. Це ставить акцент самоподібної природи.

Отже, зауважте, що у випадку кривої Дракона, оскільки $ f_1 $ і $ f_2 $ є аналітичними і афінними, вони взагалі не спотворюють зображення, тому ви побачите точні копії на менших рівнях. У випадку Юлії ми маємо лише аналітичні карти, тому існує деяке спотворення, викликане квадратним коренем, але картина більш-менш збережена (це природа аналітичних карт).

13
додано
@MarkMcClure: Так, можливо, це не був кращий приклад - але я думаю, що аспекти самоподібності є ясними ... можливо, є краща Юлія, яку можна інтерполювати. Я не багато експериментував з різними параметрами.
додано Автор RQDQ, джерело
Для прямого зв'язку між кривою дракона і наборами Джулії, див. "Наклеювання разом Джулії набори Мілнора: A Вироблений приклад спарювання" emis.de/journals/EM/expmath/volumes/13/13.1/Milnor.pdf
додано Автор isomorphismes, джерело
Це цікаво, але не відповідає на моє запитання.
додано Автор Remco Ros, джерело
Мені подобається ця відповідь, вона підвищена, і трохи редагується, щоб поліпшити анімацію. Згідно з моєю репутацією, редагування не буде видимим, якщо воно не буде схвалено через чергу перегляду. Ви можете переглянути мою версію анімації . Я трохи здивований, чому ви вибрали абсолютно відключений набір Джулії і двовимірну самоподібну плитку, яка не може бути гомеоморфною.
додано Автор Frank Groot, джерело

Як вказує @GNiklasch, ви, здається, наближаєтеся до двох місць, які є обома прообразами тієї самої періодичної точки відштовхування. Отже, образи множини Юлії локально пов'язані конформною картою і, отже, дійсно асимптотично однакові.

Якщо збільшити масштаб на різних періодичних точках, що відштовхують, то, як правило, вони матимуть різні множники. Наприклад, якщо ви подивитеся на періодичні точки, віддалені від реальної осі у вашому прикладі, ви очікуєте складних множників, і, отже, спіралі поведінки на малих масштабах.

Look at this picture:quadratic Julia set

У частинах "кролика" є періодична точка, де багато спіралі. Існує також фіксована точка, що з'єднує великого кролика посередині з одним з лівого. (Для тих, хто знає, що це означає, останнє є фіксованою точкою $ alpha $ полінома, а перша - фіксованою точкою $ alpha $ її перенормування.) Нарешті, є ще одна фіксована точка вправо зображення.

Набір Julia виглядає по-різному біля кожного з них.

EDIT. You can get an even clearer example by considering infinitely renormalisable quadratic polynomials. Consider the following procedure to select a parameter. Start at c=0, the centre of the main cardioid. Then move to the centre of the period 2 bulb at the left of the cardioid (c=-1, the "basilica"). This creates a periodic point at which two dynamic rays land, and which hence separates the Julia set into (exactly) two components.

Тепер переходьте через біфуркацію періоду 3 з цього компонента, створюючи періодичну точку періоду 6, що має три промені, що приземляються на неї. (Це компонент, що містить "танцюючі кролики", показані вище.) Продовжуйте, з періодом 4 біфуркації, періодом 5 і т.д.

У межі ви отримаєте квадратичний поліном, який має нескінченно багато періодичних точок, у яких набір Джулії навіть топологічно дуже різний, в тому, що вони розділяють набір Джулії на різні компоненти.

(Більш детальну інформацію про цей вид конструкції можна знайти у локальному підключенні до наборів Юлія: експозиційні лекції a>, розділ 3.)

Я зауважу, що для квадратичного полінома єдині точки, які можуть мати більше двох посадкових променів, і, отже, розділяти Юлію на більш ніж дві частини, є прообразами відштовхування періодичних точок. Кожен з них пов'язаний з невеликою копією набору Мандельброта. Отже, ви можете отримати тільки приклад вищезгаданого типу, маючи нескінченну кількість перенормувань.

EDIT 2. As my original point does not seem to have come across to some, here are some pictures. For $$ c = 0.340095913765605+0.076587412582221i,$$ in the main cardioid, we obtain the following Julia set.

Julia set of $z^2+c$ in the main cardioid

Here is the scaling limit near the $\beta$-fixedpoint, $$ z_0 = 0.618645316268697-0.322757842411465i:$$ Scaling limit near beta fixed point

Here is the scaling limit near a period 9 periodic point, $$ z_1 = 0.177144137748545 + 0.032520156063447i.$$ Scaling limit near period 9 point

Ви можете бачити, що межі масштабування дуже різні. (Зображення, створені за допомогою фрактальної програми "Winfeed" Річарда Парріса, версія 2012 року.)

9
додано
Я говорю про те, що ОП просила - обмеження меж при відбитті періодичних точок. Що ви говорите про пункти вирізання просто повторює те, що я кажу в редагувати мою відповідь і попередній коментар. Вирізані точки і спіралі - це дві різні речі, які можна мати або без іншого.
додано Автор isomorphismes, джерело
@AndreaDiBiagio Оскільки я розумію ваше запитання, мова йде про обмеження масштабування при відбитті періодичних точок. Отже, вам потрібно зафіксувати періодичну точку і збільшити її поблизу, щоб побачити цю межу масштабування. Здається, що ви збільшилися біля "цікавого" пункту, а саме, такого, що відокремлює набір Джулії, - але у вашому випадку є лише дві періодичні точки, які відокремлюють набір Джулії, і будь-яка інша точка розрізу буде прообразом з них, і, отже, мають однакову межу масштабування за конформністю, як я поясню.
додано Автор isomorphismes, джерело
@MarkMcClure Ні, існує нескінченно багато різних періодичних точок у наборі Julia, які ви очікуєте мати різні множники, а отже, і різні межі масштабування.
додано Автор isomorphismes, джерело
@MarkMcClure Мені шкода, але ви помиляєтеся. Будь-яка карта в кардіоїді, крім z ^ 2, має періодичну точку з нереальним множником і, отже, «спіралеподібну» поведінку. Див. Eremenko & van Strien, "Раціональні карти з реальними множниками". Якщо ви підійдете досить близько до порозу, але по дотичній до кордону кардіоїди, ви зможете побачити спіраль.
додано Автор isomorphismes, джерело
Коли модуль помножувача надто далеко від $ 1 $, ви не зможете побачити спіраль на одному знімку, але ви все ще можете спостерігати за нею при збільшенні. Якщо ви сумніваєтеся в математиці, ви, здається, вмієте робити картинки, тому можете переконати себе.
додано Автор isomorphismes, джерело
PS. Я не говорив про орбіти всіх періодів. Період орбіти тут не має значення, це множник (для структури обмеження масштабування), а кількість променів , що приземляються на орбіту (для іншого аргументу) . У кожній точці для карти в основному кардіоїді є лише одна посадка променів, незалежно від періоду.
додано Автор isomorphismes, джерело
"Як вказує @GNiklasch, ви, здається, збільшуєте масштаб у двох місцях, які є обома прообразами тієї самої періодичної точки відштовхування". Дійсно, це дуже ймовірно, оскільки Т2 говорить, що прообрази конкретної точки щільні на $ J $. Але Т3 говорить, що відштовхування періодичних точок також щільні на $ J $, і кожен з них повинен мати апріорі інший мультиплікатор, що призводить до різної локальної поведінки.
додано Автор Remco Ros, джерело
Я підозрюю, що ми говоримо про дві різні речі. Спіралі, які я бачу спіраль про точки розрізу, де зустрічаються кілька компонентів набору Джулії, і вони виникають з біфуркацій, як я сказав, і для мого ока, це домінуюча геометрична форма, яку ми бачимо. Такий тип поведінки не може виникнути в основному кардіоїді. Ваші інші моменти цікаві, хоча; Я буду дивитися.
додано Автор Frank Groot, джерело
@Lasse Звичайно є орбіти всіх періодів, але ви можете сказати те ж саме для z ^ 2, чий Джулія набір просто коло. Я не думаю, що є справжні спіральні зразки, що виявляються в наборі Юлія з ^ 2 + c для будь-якого з основного кардіоїда. Спіральні структури стають очевидними лише після того, як c проходить через біфуркацію. Для вашого прикладу існують дві біфуркації, коли c переходить від основної кардіоїди, в період 2 лампочки, а потім у період 3 лампочки від цього. Ось чому ми бачимо 2 специфічні типи спіралей для того, що Джулія встановила.
додано Автор Frank Groot, джерело
Це дуже приємно і показує, що ви можете мати декілька спіральних моделей в тому ж самому наборі Джулії, але мені цікаво, якщо це може трохи пропустити позначку. Конкретний вигляд спіралі, який ви бачите, залежить від того, де ви збільшуєте набору Джулії але набір усіх можливих спіральних візерунків у межах набору Джулії диктується позицією вашого параметра, вибраного з точки $ c $ в наборі Мандельброта. Як я розумію, все ще існує багато спіральних візерунків у межах одного набору Джулії.
додано Автор Frank Groot, джерело

Враховуючи, що я почав робити картини, я думав, що варто додати ще одну, більш коротку, пряму відповідь на ваші запитання, на додаток до мого довшого, більш детального.

Question 1. Are the limits in your pictures the same (up to a linear map)?

Answer. Yes. The only points in your "double basilica" picture at which two bounded Fatou components (interior regions of the filled Julia set) meet are preimages of the same periodic point. (This is the $\alpha$-fixed point of the first renormalisation.) Hence the Julia set near the two points is related by a conformal map, and the two scaling limits are the same, up to a linear transformation.

Question 2. Are there only finitely many scaling limits? Answer. No. But you must focus in on different periodic points to observe them. In other words, first fix your periodic point, then zoom in.

Ви не вказали точний параметр для вашого прикладу, але тут знаходяться обмеження масштабування для параметра $ c = -1.3 $. Повний набір Julia:

Double basilica Julia set

Межі масштабування у трьох реальних періодичних точках $ x_1 = -0.744989959798873 $, $ x_2 = 0.241619848709566 $ та $ x_3 = 1.131900530695346 $ ($ alpha $ фіксованої точки, $ alpha $ фіксованої точки першої перенормировки та $ beta $ фіксована точка, відповідно):

Нарешті, межа масштабування близька до періоду 3 точки $ 1.131900530695346 + 0.227896812185643i $. Я даю три послідовні масштаби (кожен більш тонкий з коефіцієнтом 10), щоб підкреслити спіральну структуру через нереальний множник. Періодична точка знаходиться в центрі кожної картини.

Ви можете чітко бачити, що межі масштабування різні. Ви можете вибрати більше періодичних точок і отримати більше меж масштабування.

5
додано

Коли ви розглядаєте нескінченно перенормований поліном, ви можете побачити нескінченно багато зовсім іншої картини. Наприклад, існує така $ c $ така, що ви можете знайти періодичні точки $ x_n $ такі, що $ K_c setminus {x_n} $ має рівно $ n $ компонентів.

Таке нескінченно перенормовується $ c $ знаходиться в нескінченному гнізді наборів дитини Мандельброта. При виборі набору дитини Мандельброта глибиною $ n + 1 $ в $ 1/n $ -послідовнику множини дитини Мандельброта глибиною $ n $, то так звана $ alpha $ -фіксована точка $ x_n $ $ n $ -я перенормування має число обертання $ 1/n $, так що $ K_c асинхрон {x_n} $ має $ n $ компонентів.

0
додано